Вписана окръжност в равнобедрен триъгълник

[Гост]

В равнобедрен триъгълник височината към основата е 14 cm. Намерете радиуса на вписаната в него окръжност, ако основата се отнася към бедрото както 3:2.

[mail_dinko]

Основата се разделя от височината, която се явява и медиана на 2 равни части
[tex]14=CM=h_{AB}=m_{AB}[/tex]
Така при станд. означения
[tex]\frac {AM}{AC}=\frac {\frac{AB}{2}}{AC}=\frac {\frac{3x}{2}}{2x}=\frac 34 \Rightarrow AM= \frac {3.AC}{4}[/tex]
В правоъгълния триъгълник AMC прилагаме теоремата на Питагор
[tex]AM^2+CM^2=AC^2 \Leftrightarrow \frac{9}{16}AC ^2 + 196=AC^2[/tex]
[tex]AC^2 = \frac {196.16}{7}[/tex]
[tex]AC = \frac {4.14}{\sqrt {7}} = 8\sqrt {7}\Rightarrow AM= \frac {3.AC}{4}= \frac {3.8\sqrt{7}}{4}=6 \sqrt {7}\Rightarrow AB=2AM = 12 \sqrt {7}[/tex]
[tex]S_{\triangle ABC}= \frac 12 . AB. CM =84 \sqrt {7}[/tex]
[tex]S=pr \Rightarrow r = \frac {S}{p} = \frac {84 \sqrt {7}}{\frac{16\sqrt {7} + 12 \sqrt {7}}{2}}[/tex]
[tex]r=6[/tex]

Втори начин - построяваме ъглополовяща [tex]AL = l_{\angle BAC} : l_a \cap CM =P[/tex]
[tex]\frac {MP}{PC}= \frac {AM}{AC} \Leftrightarrow \frac {MP}{14-MP}= \frac {6 \sqrt {7}}{8 \sqrt {7}} \Leftrightarrow 4MP = 42-3MP \Rightarrow MP=r=6[/tex]

[S.B.]

Без заглавие - 2023-03-11T174543.019.png (233.14 KiB) Прегледано 3994 пъти

Още един поглед върху задачата
[tex]AB: BC = 3 : 2 \Rightarrow HB : BC = \frac{3}{2}: 2 \Rightarrow HB = \frac{3}{2}x , BC = 2x[/tex]
[tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow CH[/tex] освен височина е и ъглополовяща.
Центърът на вписаната окръжност е песечната точка на ъглополовящите [tex]\Rightarrow O \in CH \Leftrightarrow HO = r , CO = 14 - r[/tex]
[tex]\triangle COT \approx \triangle CHB \Rightarrow[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{CO}{OT} = \displaystyle\frac{CB}{HB} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{14 - r}{r} =\displaystyle \frac{2x}{\displaystyle \frac{3}{2}x } \Leftrightarrow \frac{14 - r}{r} = \frac{4}{3 } \Leftrightarrow 42 - 3r = 4r \Leftrightarrow 7r = 42[/tex]
$$\Rightarrow r = 6$$