Решаване на правоъгълен триъгълник 9 клас

[Гост]

Здравейте! Имам 2 задачи, които не мога да реша. Ако някой може да ми помогне, ще съм много благодарна!
Първата задача е:
Намерете дължините на височината и медианите на правоъгълен триъгълник с катети 3 cm и 4 cm.

Другата е:
Намерете дължините на медианите в равнобедрен правоъгълен триъгълник с хипотенуза 6 cm.

[ammornil]

Screenshot 2023-04-06 182051.png (12.77 KiB) Прегледано 1707 пъти

[tex]\angle{BCA}=90 ^\circ; AC_{1}=BC_{1}; BA_{1}=CA_{1}; AB_{1}=CB_{1}; CH \bot AB; H\in AB[/tex]
[tex]AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}; \hspace{3em} AB\cdot{CH}=AC\cdot{BC}[/tex]
[tex]CC_{1}=\frac{AB}{2}; \hspace{3em} BB_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{BC}^{2}+2\cdot{AB}^{2}-AC^{2}} \hspace{3em} AA_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{AC}^{2}+2\cdot{AB}^{2}-BC^{2}}[/tex]

Скрит текст: покажи

Намерете дължините на височината и медианите на правоъгълен триъгълник с катети 3 cm и 4 cm.
[tex]AC=3[cm], BC=4[cm] \Rightarrow AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5[cm][/tex]

[tex]CH=\frac{AC\cdot{BC}}{AB}=\frac{3\cdot{4}}{5}=\frac{12}{5}=2\frac{2}{5}[cm][/tex]

[tex]CC_{1}=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}[cm][/tex]

[tex]BB_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{BC}^{2}+2\cdot{AB}^{2}-AC^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{4}^{2}+2\cdot{5}^{2}-3^{2}}=\frac{\sqrt{73}}{2}[cm][/tex]

[tex]AA_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{AC}^{2}+2\cdot{AB}^{2}-BC^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{3}^{2}+2\cdot{5}^{2}-4^{2}}=\sqrt{13}[cm][/tex]


Намерете дължините на медианите в равнобедрен правоъгълен триъгълник с хипотенуза 6 cm.
[tex]AC=BC, AB=6[/tex]

[tex]AB^{2}=AC^{2}+BC^{2} \Rightarrow 2\cdot{AC^{2}}=AB^{2} \Rightarrow AC=BC=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}[cm][/tex]

[tex]CH=\frac{AC\cdot{BC}}{AB}=\frac{3\sqrt{2}\cdot{3\sqrt{2}}}{6}=\frac{18}{6}=3[cm][/tex]
В равнобедрения триъгълник, височината към основата е и медиана, и ъглополовяща [tex]CC_{1} \equiv BH =3[/tex]

В равнобедрения триъгълник, медианите към равните бедра са също равни помежду си
[tex]\Rightarrow BB_{1}=AA_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{BC}^{2}+2\cdot{AB}^{2}-AC^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{(3\sqrt{2})}^{2}+2\cdot{6}^{2}-(3\sqrt{2})^{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}[cm][/tex]

[Гост]

Screenshot 2023-04-06 182051.png

[tex]\angle{BCA}=90 ^\circ; AC_{1}=BC_{1}; BA_{1}=CA_{1}; AB_{1}=CB_{1}; CH \bot AB; H\in AB[/tex]
[tex]AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}; \hspace{3em} AB\cdot{CH}=AC\cdot{BC}[/tex]
[tex]CC_{1}=\frac{AB}{2}; \hspace{3em} BB_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{BC}^{2}+2\cdot{AB}^{2}-AC^{2}} \hspace{3em} AA_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{AC}^{2}+2\cdot{AB}^{2}-BC^{2}}[/tex]

Скрит текст: покажи

Намерете дължините на височината и медианите на правоъгълен триъгълник с катети 3 cm и 4 cm.
[tex]AC=3[cm], BC=4[cm] \Rightarrow AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5[cm][/tex]

[tex]CH=\frac{AC\cdot{BC}}{AB}=\frac{3\cdot{4}}{5}=\frac{12}{5}=2\frac{2}{5}[cm][/tex]

[tex]CC_{1}=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}[cm][/tex]

[tex]BB_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{BC}^{2}+2\cdot{AB}^{2}-AC^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{4}^{2}+2\cdot{5}^{2}-3^{2}}=\frac{\sqrt{73}}{2}[cm][/tex]

[tex]AA_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{AC}^{2}+2\cdot{AB}^{2}-BC^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{3}^{2}+2\cdot{5}^{2}-4^{2}}=\sqrt{13}[cm][/tex]


Намерете дължините на медианите в равнобедрен правоъгълен триъгълник с хипотенуза 6 cm.
[tex]AC=BC, AB=6[/tex]

[tex]AB^{2}=AC^{2}+BC^{2} \Rightarrow 2\cdot{AC^{2}}=AB^{2} \Rightarrow AC=BC=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}[cm][/tex]

[tex]CH=\frac{AC\cdot{BC}}{AB}=\frac{3\sqrt{2}\cdot{3\sqrt{2}}}{6}=\frac{18}{6}=3[cm][/tex]
В равнобедрения триъгълник, височината към основата е и медиана, и ъглополовяща [tex]CC_{1} \equiv BH =3[/tex]

В равнобедрения триъгълник, медианите към равните бедра са също равни помежду си
[tex]\Rightarrow BB_{1}=AA_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{BC}^{2}+2\cdot{AB}^{2}-AC^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot{(3\sqrt{2})}^{2}+2\cdot{6}^{2}-(3\sqrt{2})^{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}[cm][/tex]

Благодаря много!

[S.B.]

[/tex]

Без заглавие - 2023-04-06T212553.746.png (274.25 KiB) Прегледано 1700 пъти

В 9 клас все още на са изучавали формулите за медиани в триъгълника.Все още са на ниво Питагорова теорема,за това предлагам друг поглед върху задачите

Зад.1)
Прилагам Питагорова теорема ,за да намеря хипотенузата:
[tex]AB^{2 } = AC^{2 } + BC^{2 } \Leftrightarrow AC = \sqrt{9 + 16} \Rightarrow AC = 5[/tex]
Още от 7 клас,знаеш,че медианата към хипотенузата е равна на половината от нея [tex]\Rightarrow C C_{1 } = 2,5[/tex]
Построяваш другите две медиани [tex]AA_{1 }[/tex] и [tex]BB_{1 }[/tex]
Получаваш два правоъгълни триъгълника [tex]\triangle A A_{1 } C[/tex] и [tex]\triangle BB_{1 }C[/tex] в които търсените медиани са хипотенузите им.
Прилагаш Питагорова теорема за [tex]\triangle A A_{1 }C[/tex] и получаваш:
[tex]A A_{1 } ^{2 } = AC^{2 } + C A_{1 } ^{2 } \Leftrightarrow AA_{1 } = \sqrt{9 + 4} \Rightarrow A A_{1 } = \sqrt{13}[/tex]
Прилагаш Питагорова теорема за [tex]\triangle BB_{1 }C[/tex] и получаваш:
[tex]BB_{1 } = \sqrt{ 2,25 + 16 } = \sqrt{18,25}[/tex]

$AC = 3$ и $BC = 4$ са две от височините на триъгълника
Височината към хипотенузата $h$ намираш по следния начин:
[tex]\begin{cases} S_{ABC } = \displaystyle\frac{AB.h}{2} = \displaystyle \frac{5.h}{2} \\ S_{ABC } = \displaystyle\frac{AC.BC}{2} = 6 \end {cases} \Rightarrow \displaystyle \frac{5h}{2} = 6 \Rightarrow h = 2,4[/tex]

Зад.2)
Медианата [tex]CC_{1 } = \frac{AB}{2} = 3[/tex]
$AC = BC = x$
Прилагаш Питагорова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex] и намираш :
[tex]2x^{2 } = 36 \Leftrightarrow x^{2 } = 18 \Rightarrow x = 3 \sqrt{2}[/tex]
Построяваш както в зад.1) медианите [tex]A A_{1 }[/tex] и [tex]BB_{1 }[/tex] и за правоъгълните триъгълници[tex]\triangle AC A_{1 }[/tex] и [tex]\triangle BC B_{1 }[/tex]прилагаш Питагорова теорема.
[tex]AA_{1 } = BB_{1 } = \frac{3 \sqrt{10} }{2}[/tex]