Остроъгълен триъгълник

[Гост]

Здравейте, бихте ли помогнали с тази задача:

Лицето на остроъгълен АВС със страни АВ е 3[tex]\sqrt{2}[/tex] и АС е 4см., е 6[tex]см^{2 }[/tex]. Дължината на страната ВС е:

[ammornil]

Здравейте, бихте ли помогнали с тази задача:

Лицето на остроъгълен АВС със страни АВ е 3[tex]\sqrt{2}[/tex] и АС е 4см., е 6[tex]см^{2 }[/tex]. Дължината на страната ВС е:

[tex]S_{ABC}=\sqrt{\frac{AB+AC+BC}{2}\cdot\frac{AB+AC-BC}{2}\cdot \frac{AB-AC+BC}{2} \cdot \frac{-AB+AC+BC}{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{[(AB+AC)^{2}-BC^{2}]\cdot [BC^{2}-(AB-AC)^{2}]}[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]6=\frac{1}{4}\sqrt{[18+24\sqrt{2}+16-x^{2}][x^{2}-(18-24\sqrt{2}+16)]}=\frac{1}{4}\sqrt{[34+24\sqrt{2}-x^{2}][x^{2}-34+24\sqrt{2}]}=\frac{1}{4}\sqrt{[24\sqrt{2}+(34-x^{2})][24\sqrt{2}-(34-x^{2})]}[/tex]

[tex]\sqrt{(24\sqrt{2})^{2}-(34-x^{2})^{2}}=24 \> |(...)^{2}\Leftrightarrow 2\cdot{576}-(1156-68x^{2}+x^{4})=576 \Leftrightarrow x^{4}-68x^{2}+580=0[/tex]

[tex]x^{2}=t > 0 \Rightarrow t^{2}-68t+580 = 0 \rightarrow t_{1,2}=\frac{34 \pm 24}{1} \begin{cases} t_{1}=58 \\ t_{2}=10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{1}=\sqrt{58} \\ x_{2}=\sqrt{10} \end{cases}[/tex]

Проверяваме ъгъла срещу най-голямата страна за всеки от получените триъгълници.

(1) [tex]c=3\sqrt{2}, b=4, a=\sqrt{58} \rightarrow \cos{\angle{CAB}}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot{b}\cdot{c}}=\frac{16+18-58}{2\cdot{3\sqrt{2}}\cdot{4}}<0 \Rightarrow[/tex] ъгълът е тъп, полученият триъгълник не решение

(2) [tex]c=3\sqrt{2}, b=4, a=\sqrt{10} \rightarrow \cos{\angle{ACB}}=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot{a}\cdot{b}}=\frac{10+16-18}{2\cdot{\sqrt{10}}\cdot{4}}>0 \Rightarrow[/tex] ъгълът е остър, полученият триъгълник е решение

$$ BC=\sqrt{10}cm $$

[Гост]

Благодаря за помощта. Първата формула откъде я взимаме? Не я откривам при формулите за лице?

[ammornil]

Благодаря за помощта. Първата формула откъде я взимаме? Не я откривам при формулите за лице?

Това е разгъната форма на формула на Херон:
[tex]p=\frac{a+b+c}{2} \Rightarrow S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]

[tex]p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{a+b+c-2a}{2}=\frac{-a+b+c}{2}[/tex]
аналогично: [tex]p-b=\frac{a-b+c}{2}, p-c=\frac{a+b-c}{2}[/tex]

оттам като върнем в Херонова формума: [tex]S=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot \frac{-a+b+c}{2} \cdot \frac{a-b+c}{2} \cdot \frac{a+b-c}{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}[/tex]
Тази форма е удобна за позлване когато знаем лицето, но не знаем една (или дори две от страните) и не можем да сметнем полупериметъра като стойност.

Това може да се преработи дори по-нататък например като: [tex]S=\frac{1}{4}\sqrt{[(b+c)+a][(b+c)-a]\cdot [a+(c-b)][a-(c-b)]}=\frac{1}{4}\sqrt{[(b+c)^{2}-a^{2}]\cdot[a^{2}-(c-b)^{2}]}[/tex]

Избирайки различи комбинации от двойки множители, можем да намерим и други форми на същата формула. В предния пост съм ги комбинирал така, че търсената страна да е сама на квадрат, а другите две да са в сбор или разлика помежду си.

[Гост]

Благодаря, Хероновата формула засега сме я ползвали само в този вид- S= p(p−a)(p−b)(p−c)
​

[Гост]

И всичко това под корен... забравих да го сложа.

[ammornil]

Благодаря, Хероновата формула засега сме я ползвали само в този вид- [tex]S= \sqrt{p(p−a)(p−b)(p−c)}[/tex]
​

Да. Това е популярната форма, защото ако знаем трите страни е по-лесно да намерим полупериметъра първо и после частичните разлики, така смятаме с по-малки числа.

[pal702004]

Идеята тук е, като се използва известна формула за лице на триъгълник да се намери синуса на ъгъл А.
Оттам, използвайки факта, че триъгълника е остроъгълен, намираме косинус А. (той е положителен, понеже тр-ка е остроъгълен).
Използваме косинусова теорема за страната BC.