Равнобедрен триъгълник

[Гост]

В равнобедрен триъгълник с основа 10 см медианата към бедрото е с дължина √66 см. Намерете дължината на бедрото.

[S.B.]

В равнобедрен триъгълник с основа 10 см медианата към бедрото е с дължина √66 см. Намерете дължината на бедрото.

Без заглавие - 2023-06-05T160318.538.png (231.32 KiB) Прегледано 1280 пъти

Нека [tex]AC = BC = b, \angle ABC = \angle BAC = \varphi ,CH \bot AB, H \in AB[/tex]
От [tex]\triangle BHC \rightarrow \frac{HB}{BC} = \cos \angle ABC \Leftrightarrow \frac{5}{b} = \cos \varphi[/tex]
За [tex]\triangle ABM[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AM^{2 } = AB^{2 } + BM^{2 } - 2.AB.BM.\cos \varphi \Leftrightarrow 66 = 100 + \frac{ b^{2 } }{4} - 2.10. \frac{b}{2}. \frac{5}{b}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 66 = 100 + \frac{ b^{2 } }{4} - 50 \Leftrightarrow 16 = \frac{ b^{2 } }{4} \Leftrightarrow b^{2 } - 64 = 0 \Leftrightarrow (b + 8)(b - 8) = 0 \Rightarrow b_{1,2 } = \pm 8,b>0[/tex]
$$\Rightarrow b = 8$$