Лице на триъгълник 6 клас

[Гост]

Даден е ⁹[tex]\triangle[/tex]АВС с лице 161 св.см. Точка М е от страната на АВ, така че АМ е 3/5АВ. Точка К е от страната на BC и СК е 3/7 СВ.Ако АК и СМ се пресичат в точка Р, намерете лицето на четириъгълник МВКР.

[ptj]

Виднага виждам два начина за решение : теорема на Талес или вектори.
Проблема е, че не съм сигурен дали сте запознати с някой от горните методи в 6-ти клас.

[peyo]

3-ти начин. Geogebra на око.

Предполагаме ABC правоъгълен в B.

geogebra-export(48).png (723.85 KiB) Прегледано 1322 пъти

[Гост]

Не е уточнено, че триъгълника е правоъгълен. Задачата е от входно ниво в 6 клас върху материала от 5 клас математическа гимназия Бургас, теоремата и векторите не са взети още.

[ptj]

Тогава има само една хитрост:
Лицето зависи само от дължитата на страната и височината към нея. Тогава ако конструираме друг триъгълник със същите мерки за страна и височина, той негояото лице ще остане непромененно. В частност от всички такива триъгълници може да изберем точно този с [tex]\angle ABC=90 ^\circ[/tex].

П.П. Предполагам, че сте решавали подобна задача (или теорема):
Нека ни е даден триъгълник [tex]ABC[/tex]. Тогава всички тригълници със същото лице се получават, само когато единия връх се движи (или "се намира") на права успоредна на срещуположната страна.

[ptj]

По принцип в задача като тази може да вземете кой да е триъгълник, отговярящ изцяло на условието. Еднозначността на отговорите е проблем на автора на задачаъа, а не на решаващите я ученици.

[ptj]

Друго решение е чрез [tex]S=p.r[/tex] и свойство на ъглополовящите. Проблема е, че се съмнавам да сте ги учили.
------------------------------------------
Нека изберем този триъгълник, в който [tex]АК[/tex] и [tex]CM[/tex] са ъглополовящи, тогава

[tex]b:c=3:4[/tex] и [tex]b:a=3:2[/tex].

Получаваме [tex]a:b:c=2:3:4[/tex]

Нека [tex]а=3x[/tex], тогава [tex]S_{ \triangle ABC }= \frac{(2x+3x+4x)r}{2}=9. \frac{r.x}{2}[/tex].

Точка [tex]P[/tex] пресечена точка на ъглополовящите, т.е разстоянието от нея до [tex]AB[/tex] и [tex]BC[/tex] e точно [tex]r[/tex].

[tex]S_{\triangle PKB}= \frac{BK.r}{2}= \frac{4}{7} BC. \frac{r}{2}= \frac{4.2x}{7}. \frac{r}{2}[/tex]

[tex]S_{\triangle PMB}= \frac{BM.r}{2}= \frac{2}{5} AB. \frac{r}{2}= \frac{2.4x}{5}. \frac{r}{2}[/tex]

[tex]S_{BKPM}=S_{ \triangle BKP}+S_{ \triangle PMB}=( \frac{8}{7}+ \frac{8}{5}) \frac{r.x}{2}= \frac{96}{35}. \frac{r.x}{2}[/tex]

[tex]S_{BKPM}:S_{ABC}= \frac{96}{35}:9= \frac{32}{105}[/tex]

[ptj]

Още един начин е чрез Теоремата на Чева: (отново имам съмнения)

Нека [tex]BP[/tex] пресича [tex]AC[/tex] в точка [tex]N[/tex].

Теорема на Чева гласи:

[tex]\frac{AM}{MB}. \frac{BK}{KC}. \frac{CN}{NA}=1[/tex]

Използвайки , че [tex]\frac{AM}{MB}=3:2[/tex] и [tex]\frac{BK}{KC}=4:3[/tex], то от нея веднага може да намерим [tex]\frac{CN}{NA}=1:2[/tex]

Да означим лицата на 6-те малки триъгълници (BPK,KPC,CPN,NPA,APM,MPB) съответно с [tex]4x,3x,y,2y,3z,2z)[/tex].

На лице са също следните съотношения :

[tex](7x+2y):(3y+3z)=3:2 \Rightarrow 7x:3y=2:3[/tex]

[tex](3y+3x):(5z+4x)=3:4 \Rightarrow 3y:5z=4:3[/tex]

------------------------------------------------------------------------------------

От горното следва, че [tex]S_{ \triangle ABP }:S_{ \triangle BCP }: S_ {\triangle CAP}=4:2:3[/tex]
...

Хубавото на горната част от доказателство, е че ми помогна да видя решение с материал до 5-ти клас. (Ще го напиша малко по-късно.)

[tex]S_{ \triangle BPC}= \frac{2}{9}S_{ \triangle ABC}[/tex]

[tex]S_{ \triangle BPK}= \frac{4}{7}S_{ \triangle BPC}= \frac{4}{7}. \frac{2}{9}S_{ \triangle ABC}= \frac{8}{63}S_{\triangle ABC}[/tex]

[tex]S_{ \triangle BPA}= \frac{4}{9}S_{ \triangle ABC}[/tex]

[tex]S_{ \triangle MBP}= \frac{2}{5}S_{ \triangle APB}= \frac{2}{5} . \frac{4}{9}S_{ \triangle ABC}= \frac{8}{45} S_{ \triangle ABC}[/tex]

[tex]S_{BKPM}=S_{ \triangle BKP}+S_{ \triangle PMB }= (\frac{8}{63}+ \frac{8}{45})S_{ \triangle ABC}= \frac{8.12}{5.7.9} S_ \triangle ABC= \frac{32}{105}S_{ \triangle ABC}[/tex]


П.П.Отговора естесвено е същия като при случая с ъглополовящи. Той само още веднъж показва инвариантността на крайния резултат (стойност на решението) от вида на дадения триъгълник.

[ptj]

Решение за 5-ти клас:

[tex]KB:CB=4:7 \Rightarrow KB:KC=KB:(CB-KB)=4:(7-3)=4:3[/tex]

[tex]S_{ \triangle BPK}:S_{ \triangle CPK}=BK:KC=4:3[/tex], защото имат обща височина към споменатите две страни.

Аналогично [tex]S_{ \triangle BAK}:S_{CAK}=KB:KC=4:3[/tex].

Тогава [tex]S_{ \triangle ABP}: S_{ \triangle ACP}=(S_{ \triangle AKC}-S_{ \triangle CPK}):(S_{ \triangle AKB}-S_{ \triangle BPK })=4:3[/tex]

Малко пояснение за последния ред : Ако имаме [tex]4x:3x=4y:3y[/tex],

то [tex]4x-4y=4(x-y)= \frac{4}{3}(3x-3y) \Leftrightarrow (4x-4y):(3x-3y)=4:3[/tex]

Аналогично [tex]S_{ \triangle APC}:S_{ \triangle BPC}=AM:MB=3:(5-3)=3:2[/tex].

Получихме [tex]S_{ \triangle ABP}:S_{ \triangle BCP}:S_{CAP}=4:2:3[/tex].

Понеже [tex]S_{ \triangle ABC}= S_{ \triangle ABP}+S_{ \triangle BCP}+S_{CAP}[/tex], то

[tex]S_{ \triangle ABP}:S_{ \triangle ABC} =4:(4+3+2)=4:9 \Leftrightarrow S_{ \triangle ABP}= \frac{4}{9} S_{ \triangle ABC}[/tex]

Аналогично [tex]S_{ \triangle BCP}= \frac{2}{9}S_{ \triangle ABC}[/tex] и [tex]S_{ \triangle CAP}= \frac{3}{9}S_{ \triangle ABC}[/tex]

[tex]S_{ \triangle BPK}= \frac{4}{7}S_{ \triangle BPC}= \frac{4}{7}. \frac{2}{9}S_{ \triangle ABC}= \frac{8}{63}S_{\triangle ABC}[/tex]

[tex]S_{ \triangle BPA}= \frac{4}{9}S_{ \triangle ABC}[/tex]

[tex]S_{ \triangle MBP}= \frac{2}{5}S_{ \triangle APB}= \frac{2}{5} . \frac{4}{9}S_{ \triangle ABC}= \frac{8}{45} S_{ \triangle ABC}[/tex]

[tex]S_{BKPM}=S_{ \triangle BKP}+S_{ \triangle PMB }= (\frac{8}{63}+ \frac{8}{45})S_{ \triangle ABC}= \frac{8.12}{5.7.9} S_ \triangle ABC= \frac{32}{105}S_{ \triangle ABC}[/tex]

[tex]S_{BPKM}= \frac{2^5}{21.5} .161= \frac{2^5.7.23}{3.5.7} = \frac{736}{15}= \frac{1472}{30}=147,2:3=49 \frac{2}{3} =49,0(6)[/tex] кв. см.

П.П. Задачата е прекалено трудна за входно ниво 6-ти клас (даже и за малки гении от МГ). По-скоро е подходяща за състезания (същата възраст). ;)

[Евва]

И аз мисля ,че се справих ,но утре ще пратя решението си .

[Евва]

Нека т.Т лежи на страната ВС така ,че ВТ=[tex]\frac{1}{7}[/tex]ВС . Нека т.Е лежи на страната АВ така ,че АЕ=[tex]\frac{1}{5}[/tex]АВ .
Да означим [tex]S_{PBT }= S_{1 }[/tex] , [tex]S_{AEP }= S_{2 }[/tex] и [tex]S_{APC } = S_{3}[/tex] .

[tex]\frac{ S_{AKC } }{ S_{ABC } }[/tex]=[tex]\frac{3}{7}[/tex] ; [tex]S_{AKC }[/tex]= [tex]\frac{3.161}{7}[/tex] ; [tex]S_{3 } +3 S_{1 }[/tex]= [tex]\frac{3.161}{7}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{3 }[/tex]= 3(23-[tex]S_{1 }[/tex]) (1)

[tex]\frac{ S_{AMC } }{ S_{ABC } } = \frac{3}{5}[/tex] ;[tex]S_{AMC } = \frac{3.161}{5}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{3 } + 3S_{2 }[/tex]=[tex]\frac{3.161}{5}[/tex] (2)

[tex]S_{ABC }[/tex]= 161 ;[tex]7S_{1 }+5 S_{2 }+ S_{3 }[/tex]= 161 (3)

Заместваме (1) в (3) .
7[tex]S_{1 } +5S_{2 }[/tex] +69-3[tex]S_{1 }[/tex]=161; [tex]S_{2 } = \frac{92-4 S_{1 } }{5}[/tex] (4)
(1) и (4) ще заместим в (2)
69-3[tex]S_{1 }[/tex]+3.[tex]\frac{92-4 S_{1 } }{5}= \frac{3.161}{5}[/tex] |.[tex]\frac{5}{3}[/tex]

115-5[tex]S_{1 }[/tex]+92-4[tex]S_{1 }[/tex]=161 ; получихме [tex]S_{1 }[/tex]=[tex]\frac{46}{9}[/tex] (A) Връщаме се към (4) и намираме [tex]S_{2 }[/tex]=[tex]\frac{644}{45}= \frac{46.14}{45}[/tex] (B)

Според направения чертеж [tex]S_{MBKP } =4 S_{1 }+2 S_{2 }[/tex] виж (А) и (В)

[tex]S_{MBKP }[/tex]=4.[tex]\frac{46}{9}[/tex]+2.[tex]\frac{46.14}{45}[/tex] = [tex]\frac{46.20+46.28}{45} = \frac{46.48}{45} = \frac{736}{15}[/tex]

[tex]S_{MBKP }[/tex]= [tex]\frac{736}{15}[/tex] = 49,0(6) кв.см.
Съгласна съм с колегата ,че задачата е подходяща за състезания .

[Гост]

Много ви благодаря за предложените решения