височини и подобни триъгълници

[Гост]

Нека A1, B1, C1 са петите на височините, спуснати от върховете А, В, С на остроъгълния ΔABC и <ABC = β, <BAC = α, <ACB = γ.

да се докаже , че тр. А1B1C1 е подобен на тр. ABC и че <C1A1B1 = 180^ - 2α

Не разбирам след като тр А1B1C1 е подобен на тр. ABC , то ъглите им не са ли равни ?

[Гост]

Не разбирам след като тр А1B1C1 е подобен на тр. ABC , то ъглите им не са ли равни ?

Така е.Струва ми се,че нещо в условието не е така,както е написано.

[Гост]

https://solemabg.com/SamGPodTri1.htm#vt
последната задача

[ptj]

Твърдението за ъглите е вярно. Триъгълниците [tex]ABC[/tex] и [tex]A_1B_1C_1[/tex] не са подобни в общия случай.

[Гост]

не разбирам , как така ?

[ptj]

Моя грешка - тригълниците са подобни, а търсените ъгли са при пресечената точка на височините (т.е. в условието има грешка).

[Гост]

Ами хем <C1A1B1 = <a , хем <C1A1B1 + 2a = 180^
не мога да го разбера , но сбора мисля , че е правилен ,
но например ако <a = 50^ , следва , че ъгъл C1A1B1 = 80^ ,
как тогава са подобни триъгълниците A1B1C1 и тр. ABC ?

[ptj]

Всичко е точно. Няма никави грешки.
[tex]\angle{ABC}= \beta \Rightarrow \angle{CB_1A_1}=\angle{AB_1B}= \beta[/tex]...

Упътване: Опиши окръжност около [tex]AB_1A_1B[/tex] и виж всеки ъгъл с кои дъги се измерва.

[Гост]

говоря за тр. A1B1C1

[Гост]

някакви идеи дали и къде бъркам ?

[stefanb]

Твърдението за ъглите е вярно. Триъгълниците [tex]ABC[/tex] и [tex]A_1B_1C_1[/tex] не са подобни в общия случай.

Точно, само ако са равностранни.
Нека [tex]\alpha[/tex]=180^ - 2α[tex]\Rightarrow \alpha[/tex]=60
аналогично и за [tex]\beta[/tex] и [tex]\gamma[/tex]
Нека [tex]\alpha[/tex]=180^ -2[tex]\beta[/tex]
2[tex]\beta[/tex]+[tex]\alpha[/tex]=180
2[tex]\beta[/tex]+[tex]\alpha[/tex]=[tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex]+[tex]\gamma[/tex]
[tex]\beta[/tex]=[tex]\gamma[/tex]
аналогично и за [tex]\alpha[/tex]

[Гост]

ами в условието никъде не е дадено тр. ABC
и тр. A1B1C1 да са равностранни за да са подобни ,
а се доказва тяхното подобие..

това равенство : нека a = 180^ - 2B откъде го взимаш ?

[stefanb]

ами в условието никъде не е дадено тр. ABC
и тр. A1B1C1 да са равностранни за да са подобни ,
а се доказва тяхното подобие..

това равенство : нека a = 180^ - 2B откъде го взимаш ?

Има 6 различни начина да съпоставиш ъглите на двата триъгълника. Два от тях включват [tex]\angle[/tex]C1B1A1 и [tex]\angle[/tex] CAB. За [tex]\angle[/tex]C1B1A1 вече знаем, че е равен на 180^ - 2B /има линк с решение по-горе/.
Ако за проверка поставим равенство между тях излиза β=γ. В този ред извода е: Триъгълниците не са подобни в общия случай, а само ако са равностранни. Частен случай.

[ammornil]

Нека A1, B1, C1 са петите на височините, спуснати от върховете А, В, С на остроъгълния ΔABC и <ABC = β, <BAC = α, <ACB = γ.

да се докаже , че тр. А1B1C1 е подобен на тр. ABC и че <C1A1B1 = 180^ - 2α

Не разбирам след като тр А1B1C1 е подобен на тр. ABC , то ъглите им не са ли равни ?

В общия случай, триъгълникът заключен между петите на височините на остроъгълния триъгълник не е подобен на изначалния. ДОКАЗАТЕЛСТВО ТУК