Описана и вписана окръжност

[Гост]

Радиусът на описаната около равнобедрен триъгълник окръжност е 4 cm, а ъгълът при основата му е 30°. Да се намери радиуса на вписаната в триъгълника окръжност.

[ammornil]

Радиусът на описаната около равнобедрен триъгълник окръжност е 4 cm, а ъгълът при основата му е 30°. Да се намери радиуса на вписаната в триъгълника окръжност.

Не пише за кой клас е задачата, така че...[tex]\\ \triangle{ABC}, \quad AC=BC, \quad \angle{BAC}=\angle{ABC}=30^{\circ}, \quad R=4[cm] \\ \text{Син. теорема: } \frac{AC}{\sin{\angle{ABC}}}=2\cdot{R} \Rightarrow AC=2\cdot{R}\cdot{\sin{\angle{ABC}}}=4[cm] \\ \angle{ACB}=120^{\circ} \\ \text{Кос. теорема: } AB^{2}=2\cdot{}AC^{2}-2\cdot{AC^{2}}\cdot{}\cos{\angle{ACB}}=3\cdot{}AC^{2} \Rightarrow AB=4\sqrt{3}[cm] \\ p_{ABC}=\frac{AB+2\cdot{}AC}{2}=2\sqrt{3}+4 \\ S_{ABC}=\sqrt{p_{ABC}\cdot{(p_{ABC}-AB)}\cdot{(p_{ABC}-AC)}\cdot{(p_{ABC}-BC)}}=\sqrt{(2\sqrt{3}+4)\cdot{(2\sqrt{3})}\cdot{(2\sqrt{3})}\cdot{(4-2\sqrt{3})}}=\\ S_{ABC}=2\sqrt{3}\sqrt{4^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}=4\sqrt{3}[cm^{2}] \\ S_{ABC}=p\cdot{r} \Rightarrow r=\frac{S_{ABC}}{p_{ABC}}=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+4}=\frac{2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\cdot{}\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}-6}{4-3}=2(2\sqrt{3}-3)[cm][/tex]

Проверете сметките...

[S.B.]

Радиусът на описаната около равнобедрен триъгълник окръжност е 4 cm, а ъгълът при основата му е 30°. Да се намери радиуса на вписаната в триъгълника окръжност.

Без заглавие - 2024-05-20T220334.999.png (164.04 KiB) Прегледано 232 пъти

И друг поглед върху задачата

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Синусова теорема :
[tex]\frac{AB}{\sin \angle 120 ^\circ } = 8 \Leftrightarrow AB = 8.\frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow AB = 4 \sqrt{3}[/tex]

Центърът $O$ на вписаната окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите.
$AO$ е ъглополовяща на [tex]\angle BAC[/tex], $OH = r$
За [tex]\triangle AOH[/tex] получаваме:
[tex]\frac{OH}{OA} = \tg \angle OAH \Leftrightarrow \frac{r}{2 \sqrt{3} } = \tg 15 ^\circ \Rightarrow r = 2 \sqrt{3}.\tg15 ^\circ[/tex]


[tex]\tg^{2 } 15 ^\circ = \displaystyle\frac{ \sin^{2 }15 ^\circ }{ \cos^{2 }15 ^\circ } = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1 - \cos 30 ^\circ }{2} }{\displaystyle \frac{1 + \cos 30 ^\circ }{2} } =\displaystyle \frac{1 - \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} }{1 + \displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} } =\displaystyle \frac{2 - \sqrt{3} }{2 + \sqrt{3} } = \displaystyle \frac{ (2 - \sqrt{3} )^{2 } }{4 - 3} = (2 - \sqrt{3}) ^{2 }[/tex]
[tex]\Rightarrow \tg 15 ^\circ = 2 - \sqrt{3}[/tex]
[tex]r = 2 \sqrt{3}\tg 15 ^\circ \Leftrightarrow r = 2 \sqrt{3}(2 - \sqrt{3})[/tex]
$$\Rightarrow r = 2(2 \sqrt{3} - 3)$$

[pipi langstrump]

От чертежа имаш

[tex]\tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{r}{ \frac{c}{2} }[/tex]
От синусова теорема имаш [tex]\frac{c}{\sin (\gamma = 180° - 2 \alpha)} = 2R[/tex], следователно

[tex]r = R \sin 2 \alpha \tg \frac{ \alpha }{2}[/tex]

[Евва]

Ще използвам чертежа на колежката S.B.
Досещаме се ,че АО е ъглополовяща в правоъгълния [tex]\triangle[/tex]AHC .

[tex]\frac{CO}{HO} = \frac{AC}{AH}[/tex] ; [tex]\frac{2-r}{r}= \frac{4}{2 \sqrt{3} }[/tex] ; r=4[tex]\sqrt{3}[/tex]-6 см.