равнобедрен триъгълник

[Гост]

Бихте ли помогнали със следната задача за 11. клас?
Намерете радиуса на вписаната в равнобедрен триъгълник окръжност, ако бедрото му е 2 см, а един от ъглите е 30°.

[S.B.]

Бихте ли помогнали със следната задача за 11. клас?
Намерете радиуса на вписаната в равнобедрен триъгълник окръжност, ако бедрото му е 2 см, а един от ъглите е 30°.

Без заглавие - 2024-06-05T192343.508.png (328.33 KiB) Прегледано 435 пъти

Не е казано кой ъгъл е [tex]30^\circ[/tex],за това ще се наложи да разгледаме два случая

Първи случай
Нека ъгълът при върха [tex]C = 30 ^\circ , AB = c[/tex]
Прилагам Косинусова теорема:
[tex]AB^{2 } = AC^{2 } + BC^{2 } - 2.AC.BC.\cos 30 ^\circ \Leftrightarrow c^{2 } = 2^{2 }(2 - \sqrt{3}) \Rightarrow c = 2 \sqrt{2 - \sqrt{3} }[/tex]
$$ S_{ABC } = p.r $$
[tex]S_{ABC } = \frac{AC.BC}{2}\sin 30 ^\circ \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{2.2}{2}. \frac{1}{2} \Rightarrow S_{ABC } = 1[/tex]
[tex]P_{ABC } = 4 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3} } \Rightarrow p = 2 + \sqrt{2 - \sqrt{3} }[/tex]
[tex]S_{ABC } = p.r \Rightarrow r = \frac{ S_{ABC } }{p} = \frac{1}{2 + \sqrt{2 - \sqrt{3} } } = ...[/tex] (рационализираш)

Втори случай
[tex]\angle A = \angle B = 30 ^\circ[/tex]
[tex]CH \bot AB, AH = \frac{c}{2}[/tex]
От [tex]\triangle AHC \rightarrow \frac{AH}{AC} = \cos 30 ^\circ \Leftrightarrow AH = 2. \frac{ \sqrt{3} }{2} \Leftrightarrow \frac{c}{2} = 2. \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow c = 2 \sqrt{3}[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{2.2 \sqrt{3} }{2} \sin 30 ^\circ \Leftrightarrow S_{ABC } = \sqrt{3}[/tex]
[tex]p = 2 + \sqrt{3}[/tex]

[tex]r = \frac{S}{p} = .....[/tex]

[Гост]

Благодаря ви.