правоъгълен триъгълник

[Гост]

За острия ъгъл [tex]\alpha[/tex] на правоъгълен триъгълник с хипотенуза 2 cm e изпълнено равенството [tex]1-sin2\alpha= cos\alpha-sin\alpha[/tex] . Да се намери лицето на триъгълника.

[Davids]

За всеки ъгъл:
$1 - sin2x = 1 - 2sinxcosx = sin^2x - 2sinxcosx + cos^2x = (sinx - cosx) ^2 = (cosx - sinx) ^2$

За нашия триъгълник:
$(cosx - sinx) ^2 = cosx - sinx$
$(cosx - sinx) (cosx - sinx - 1) = 0$

Значи или:
$cosx = sinx$, което за $x\in (0, \frac{\pi} {2})$ означава $x = \frac{\pi} {4} = 45^\circ$
или:
$cosx = 1+sinx$, което няма решения за $x \in (0, \frac{\pi}{2})$. Като кратка обосновка можем да посочим, че $x \in (0, \frac{\pi}{2}) \Rightarrow sinx > 0 \Rightarrow 1 + sinx > 1$, а пък е ясно, че $cosx \le 1$

Та в крайна сметка триъгълникът е равнобедрен. Оттам нататък можеш ли?