Равнобедрен триъгълник

[Гост]

Дължината на височината към основата на равнобедрен триъгълник и радиусът на вписаната в него окръжност са съответно 8 и 3. Да се намери дължината на бедрото на триъгълника.

[ammornil]

Дължината на височината към основата на равнобедрен триъгълник и радиусът на вписаната в него окръжност са съответно 8 и 3. Да се намери дължината на бедрото на триъгълника.

[tex]\\[/tex]Не сте посочили за кой клас е задачата, затова ето едно лесно решение с тригонометрия:[tex]\\[/tex]Точката [tex]O[/tex] е център на вписаната окръжност, следователно е пресечна точка на ъглополовящите. В равнобедрения триъгълник, височината към основата, медианата към основата и ъглополовящата на ъгъла между бедрата съвпадат, следователно точката [tex]O[/tex] лежи на височината [tex]CM[/tex] и [tex]AM=BM, \quad \angle{CMA}=90^{\circ}, \quad \angle{ACM}=\angle{BCM}=\frac{\gamma}{2} < 90^{\circ} \Rightarrow \cos{\frac{\gamma}{2}} > 0, \hspace{1em} \forall{\gamma} \in{(0^{\circ};180^{\circ})}[/tex]. Радиусът на вписаната окръжност е перпендикулярен на страните на триъгълника в точките на допиране, следователно радиусът на вписаната окръжност към основата лежи на височината към основата (през точка [tex]O[/tex] минава единствена права, перпендикулярна на основата). От това следва, че [tex]OM=3, CM=5[/tex]. Построяваме и другите два радиуса към бедрата: [tex]P\in{BC}, OP\bot{BC}, OP=3; \quad Q\in{AC}, OQ\bot{AC}, OQ=3 \\ \triangle{OQC}: \quad \angle{OQC}=90^{\circ} \Rightarrow \sin{\frac{\gamma}{2}}=\frac{OQ}{CO}=\frac{3}{5} \\ \quad \cos{\frac{\gamma}{2}} > 0 \Rightarrow \cos{\frac{\gamma}{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}{\frac{\gamma}{2}}}=\frac{4}{5} \\ \triangle{AMC}: \quad \angle{AMC}=90^{\circ} \Rightarrow \cos{\frac{\gamma}{2}}=\frac{CM}{AC} \Leftrightarrow \frac{4}{5}=\frac{8}{AC} \Leftrightarrow AC=\frac{8\cdot{5}}{4}=10\\[/tex]

Screenshot 2024-06-25 101044.png (36.55 KiB) Прегледано 123 пъти

[tex]\\[/tex]$$ \boxed{\quad AC=BC=10 \quad } $$