Определете височината в правоъгълен триъгълник

[Гост]

Дадени са r - радиус на вписаната в триъгълника окръжност
и mc - медиана към хипотенузата.Определете височината към
хипотенузата hc

[ammornil]

Дадени са r - радиус на вписаната в триъгълника окръжност
и mc - медиана към хипотенузата.Определете височината към
хипотенузата hc

Ако триъгълникът е правоъгълен, както е казано в заглавието на темата, то медианата към хипотенузата е радиус на описаната окръжност, а хипотенузата е равна на два пъти този радиус.
[tex]r, m_{C}=R, c=2\cdot{R} \\ \begin{array}{|l} a^{2}+b^{2}=c^{2}\\ \frac{\normalsize{a\cdot{b}}}{\normalsize{2}}=\frac{\normalsize{a+b+c}}{\normalsize{2}}\cdot{r} \quad |\cdot{4} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a^{2}+b^{2}=4\cdot{R^{2}} \\ 2\cdot{a}\cdot{b}=2(a+b)\cdot{r} + 2\cdot{2R}\cdot{r}\end{array} \Rightarrow \\ \quad \\ \Rightarrow a^{2}+b^{2}+2\cdot{a}\cdot{b}=4\cdot{R^{2}}+2(a+b)\cdot{r} +4\cdot{R}\cdot{r} \\ (a+b)^{2}-2r(a+b)-4\cdot{R^{2}}-4\cdot{R}\cdot{r}=0 \\(a+b)^{2}-2r(a+b)-4\cdot{R}(R-r)=0 \\ \quad \begin{array}{lcl}a+b = y,\quad Dy: y > c =2R > 0 &\Rightarrow &y^{2}-2ry-4\cdot{R}(R-r)=0 \\&& D=r^{2}+4R^{2}+4Rr=(2R)^{2}+2\cdot{2R}\cdot{r}+r^{2}=(2R+r)^{2} \\ && y_{1,2}=\frac{r\pm(2R+r)}{1} \Rightarrow \begin{cases} y_{1}=2R \notin Dy \\y_{2}=2r+2R \in{Dy}\end{cases} \end{array} \\ \boxed{a+b=2r+2R} \\ \frac{\normalsize{a+b+c}}{\normalsize{2}}\cdot{r}=\frac{c\cdot{h_{C}}}{2} \\ r(2r+2R+2R)=2R\cdot{h_{C}} \Rightarrow h_{c}=\frac{2r(r+2R)}{2R}, \quad R=m_{c}[/tex]$$ h_{c}=\frac{r(r+2m_{c})}{m_{c}} $$

Прегледайте сметките за грешки, защото писах директно в LATEX.

[S.B.]

Дадени са r - радиус на вписаната в триъгълника окръжност
и mc - медиана към хипотенузата.Определете височината към
хипотенузата hc

Без заглавие - 2024-08-05T165748.851.png (202.05 KiB) Прегледано 199 пъти

Още един поглед върху задачата

Нека хипотенузата $AB = c $ и медианата към хипотенузата е [tex]MC = m_{c }[/tex]
От 7 клас се знае,че [tex]c = 2. m_{c }[/tex]
Ако радиусът на вписаната окръжност е $r$ то от 8 клас се знае,че [tex]P_{ABC }= 2r + 2c \Rightarrow p = r +c[/tex]

[tex]\begin{cases} c = 2 m_{c } \\ p = r + c \end{cases} \Rightarrow p = r + 2 m_{c }[/tex]

[tex]\begin{cases} S_{ABC } = \displaystyle\frac{c. h_{c } }{2} \\ S_{ABC } = p.r\end{cases} \Rightarrow \displaystyle\frac{c. h_{c } }{2} = p.r \Leftrightarrow \displaystyle \frac{c h_{c } }{2} = r(r + 2. m_{c })[/tex]

$$\Rightarrow h_{c } = \frac{2r(r + 2. m_{c } )}{c}\Leftrightarrow h_{c } = \frac{r(r + 2 m_{c } )}{ m_{c } } $$