Триъгълник вписан в окръжност

[Гост]

Здравейте , задачата е следната :

В окръжност с център О и радиус R е вписан триъгълник с ъгли a , B , и у
и ортоцентър H.Да се намерята разстоянията:

а)от О до страните на триъгълника
б)от H до върховете на триъгълника
в)от H до страните на триъгълника

[S.B.]

Здравейте , задачата е следната :

В окръжност с център О и радиус R е вписан триъгълник с ъгли a , B , и у
и ортоцентър H.Да се намерята разстоянията:

а)от О до страните на триъгълника
б)от H до върховете на триъгълника
в)от H до страните на триъгълника

Без заглавие - 2024-11-09T105329.599.png (309.67 KiB) Прегледано 309 пъти

[tex]\angle A = \alpha, \angle B = \beta \angle C = \gamma[/tex]
Прилагам Синусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex] и намирам страните му:
[tex]AB = 2R\sin \gamma[/tex]
[tex]BC = 2R \sin \alpha[/tex]
[tex]AC = 2R \sin \beta[/tex]

а)
Разглеждам [tex]\triangle BOC[/tex] - равнобедрен.(ЗАЩО?)
[tex]\angle BOC[/tex] е централен и се измерва със същата дъга с която се измерва вписаният [tex]\angle A= \alpha \Rightarrow \angle BOC = 2 \alpha[/tex]
[tex]S_{BC } \bot BC, S_{BC } \cap BC = P[/tex]

[tex]S_{BOC } = \frac{BC.OP}{2} \Leftrightarrow S_{BOC } = \frac{2R\sin \alpha.OP }{2} \Rightarrow S_{BOC } = R.\sin \alpha.OP[/tex]

[tex]S_{BOC } = \frac{BO.CO.\sin \angle BOC}{2} \Leftrightarrow S_{BOC } = \frac{ R^{2 }\sin2 \alpha }{2} \Rightarrow S_{BOC } = R^{2 } \sin \alpha \cos \alpha[/tex]

[tex]\begin{cases} S_{BOC } = R.\sin \alpha.OP \\ S_{BOC } = R^{2 }\sin \alpha\cos \alpha \end{cases} \Rightarrow OP = R\cos \alpha[/tex]

Удоволствието от намирането на разстоянието от $O$ до страните $AB$ и $AC$ оставям на Вас!

б)
Лесно се доказва,че описаните окръжности около триъгълниците [tex]\triangle ABC , \triangle AHB , \triangle BHC[/tex] и [tex]\triangle AHC[/tex] имат един и същи радиус $R$.
Ще го докажа за [tex]\triangle BHC[/tex], а за останалите се доказва посъщия начин.
От [tex]\triangle C_{1 }CB \rightarrow \angle C_{1 }CB = 90 ^\circ - \beta \Rightarrow \angle HCB = 90 ^\circ - \beta[/tex]
От [tex]\triangle B_{1 }BC \rightarrow \angle B_{1 }BC = 90 ^\circ - \gamma \Rightarrow \angle HBC = 90 ^\circ - \gamma[/tex]
За [tex]\triangle BHC :[/tex]
[tex]\angle BHC + \angle HBC + \angle BCH = 180 ^\circ \Leftrightarrow \angle BHC + 90 ^\circ - \beta + 90 ^\circ - \gamma = 180 ^\circ \Rightarrow \angle BHC = \beta + \gamma \Leftrightarrow \angle BHC = 180 ^\circ - \alpha[/tex]
Нека радиусът на описаната около [tex]\triangle BHC[/tex] окръжност е [tex]R_{1 }[/tex]
За [tex]\triangle BHC[/tex] прилагам Синусова теорема:

[tex]\frac{BC}{\sin \angle BHC} = 2 R_{1 }[/tex]

[tex]\frac{2R\sin \alpha }{\sin(180 ^\circ - \alpha) } = 2 R_{1 } \Leftrightarrow \frac{2R\sin \alpha }{\sin \alpha } = 2 R_{1 } \Rightarrow R = R_{1 }[/tex]

За [tex]\triangle BHC[/tex] прилагам Синусова теорема:

[tex]\frac{CH}{\sin(90 ^\circ - \gamma) } = 2R \Rightarrow CH = 2R\cos \gamma[/tex] (ЗАЩО [tex]\cos[/tex]?)
[tex]\frac{BH}{\sin (90 ^\circ - \beta) } = 2R \Rightarrow BH = 2R\cos \beta[/tex]

Както вече се досещате разстоянието $AH$ ще намерите самостоятелно!

в)
Предполагам,че вече се досещате,че разстоянието [tex]H A_{1 }[/tex] ще намеря по начина описан в т.а)

[tex]\begin{cases} S_{BHC } = \displaystyle\frac{BC.H A_{1 } }{2} = \displaystyle\frac{2R\sin \alpha .H A_{1 } }{2} = R\sin \alpha .H A_{1 } \\ S_{BHC } = \displaystyle\frac{BH.CH.\sin(180 ^\circ - \alpha) }{2} = \displaystyle\frac{2R\cos \gamma .2R\cos \beta.\sin \alpha }{2} \end{cases} .....[/tex]
Сега можете да се справите и самостоятелно,както и самостоятелно можете да намерите и разстоянията от ортоцентъра до другите две страни.Успех!

[Гост]

благодаря , но от къде следва , че <BOC = 2a

[ptj]

Вписания ъгъл се измерва с половината от прилежащата дъга, докато централния с цялата.

[S.B.]

благодаря , но от къде следва , че <BOC = 2a

Следва от определението за измерване на централен ъгъл,което се изучава в 8 клас.

[tex]\angle A = \alpha , \angle A[/tex] е ВПИСАН ъгъл (ЗАЩО?) и според определението за измерване на вписан ъгъл имаме:
[tex]\angle A = \alpha =\displaystyle \frac{\overset {\displaystyle \frown}{BC}}{2} \Rightarrow {\overset {\displaystyle \frown}{BC}} = 2 \alpha[/tex]
[tex]\angle BOC[/tex] e ЦЕНТРАЛЕН ъгъл (ЗАЩО?) и според опеделението за измерване на централен ъгъл:
[tex]\angle BOC = {\overset {\displaystyle \frown}{BC} }\Rightarrow \angle BOC = 2 \alpha[/tex]

Скрит текст: покажи

Добре ще бъде да прочетете за тези понятия в учебника за 8 клас.

[Гост]

Благодаря.