Перпендикулярни прави

[ToZero]

Даден е разностранен $\triangle ABC$ с център на вписаната окръжност $I$ и среди $M_a, M_b$ съответно на страните $BC, CA$. Ако е известно, че $BI$ и $IM_a$ са перпендикулярни, докажете, че $\angle AIM_b = 90^\circ$.

[Гост]

Перпендикулярни прави-page-001.jpg (100.33 KiB) Прегледано 171 пъти

[Евва]

Нека [tex]\angle[/tex]BAC=2[tex]\alpha[/tex] , [tex]\angle[/tex]ABC= 2[tex]\beta[/tex] и вписаната окр. се допира до страните AB ,BC и AC съответно в т.T , т.F и т.E .
Да отбележим AT=AE=m ,BT=BF=n и CE=CF=p .

[tex]\angle[/tex]I[tex]M_{a }[/tex]C е външен за [tex]\triangle[/tex]IB[tex]M_{a }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]I[tex]M_{a }[/tex]C =90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\beta[/tex] и от [tex]\triangle[/tex]I[tex]M_{a }[/tex]C намираме [tex]\angle[/tex]CI[tex]M_{a }[/tex] =[tex]\alpha[/tex] (1)
[tex]\triangle[/tex]AIC[tex]\approx \triangle[/tex]I[tex]M_{a } C[/tex] ( 1 признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AC}{CI}= \frac{CI}{C M_{a } }[/tex] ;[tex]\frac{m+p}{CI}= \frac{CI}{ \frac{n+p}{2} }[/tex] ;[tex]\frac{m+p}{CI}= \frac{2CI}{n+p}[/tex]

[tex]\frac{ \frac{m+p}{2} }{CI}= \frac{CI}{n+p}[/tex] ; [tex]\frac{C M_{b } }{CI} =\frac{CI}{BC}[/tex] (2)

От [tex]\angle[/tex]IC[tex]M_{b }[/tex] =[tex]\angle[/tex]ICB и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]IC[tex]M_{b } \approx \triangle[/tex]BCI ( по 2 признак ) Тогава [tex]\angle M_{b }[/tex]IC = [tex]\beta[/tex] (3)

[tex]\angle[/tex]AI[tex]M_{b }[/tex]+ [tex]\angle[/tex]AIB+[tex]\angle[/tex]BI[tex]M_{a }[/tex]+[tex]\angle[/tex][tex]M_{a } IC[/tex]+[tex]\angle[/tex]CI[tex]M_{b }[/tex] =360[tex]^\circ[/tex]

[tex]\angle[/tex]AI[tex]M_{b }[/tex]+(180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]-[tex]\beta[/tex]) +90[tex]^\circ+ \alpha + \beta =360 ^\circ[/tex]

[tex]\angle[/tex]AI[tex]M_{b }[/tex]= 90[tex]^\circ[/tex]