Прогресивен триъгълник

[ToZero]

Ако дължините на страните на един триъгълник са в отношение $3 : 7 : 8$, докажете, че неговите ъгли образуват аритметична прогресия.

[ammornil]

Ако дължините на страните на един триъгълник са в отношение $3 : 7 : 8$, докажете, че неговите ъгли образуват аритметична прогресия.

$\\[12pt] \triangle{ABC}, \quad \angle{BAC}=\alpha, \quad \angle{ABC}=\beta, \quad \angle{ACB}=\gamma \\[6pt] AB=3k, BC=7k, AC=8k, \hspace{0.5em} \forall{k}\in{}\mathbb{R}, k>0 \\[6pt] \because{} AB<BC<AC \Rightarrow \gamma < \alpha <\beta \\[12pt] \alpha\overset{?}{=}\dfrac{\beta+\gamma}{2} \\[12pt] \cos{\alpha}= \dfrac{AB^{2} +AC^{2} -BC^{2}}{2\cdot{}AB\cdot{}AC}= \dfrac{9k^{2} +64k^{2} -49k^{2}}{2\cdot{}3k\cdot{}8k}=\dfrac{24k^{2}}{48k^{2}}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \alpha=60^{\circ} \\ \quad \Rightarrow \beta +\gamma =120^{\circ} \Rightarrow \cos{\dfrac{\beta +\gamma}{2}} > 0 \\[6pt] \cos{\beta}= \dfrac{AB^{2} +BC^{2} -AC^{2}}{2\cdot{}AB\cdot{}BC}= \dfrac{9k^{2}+49k^{2} -64k^{2}}{2\cdot{}3k\cdot{}7k}= \dfrac{-6k^{2}}{42k^{2}}=-\dfrac{1}{7} \\[6pt] \cos{\gamma}= \dfrac{AC^{2} +BC^{2} -AB^{2}}{2\cdot{}AC\cdot{}BC}= \dfrac{64k^{2}+49k^{2} -9k^{2}}{2\cdot{}8k\cdot{}7k}= \dfrac{104k^{2}}{112k^{2}}=\dfrac{13}{14} \\[6pt] \sin{\beta}= \sqrt{1-\cos^{2}{\beta}}= \dfrac{4\sqrt{3}}{7} \\[6pt] \sin{\gamma}= \sqrt{1-\cos^{2}{\gamma}}= \dfrac{3\sqrt{3}}{14} \\[6pt] \cos{(\beta+\gamma)}= \cos{\beta}\cdot{}\cos{\gamma} -\sin{\beta}\cdot{}\sin{\gamma}= -\dfrac{13}{98} -\dfrac{36}{98} =- \dfrac{49}{98}= -\dfrac{1}{2} \\\cos{\dfrac{\beta +\gamma}{2}}= +\sqrt{\dfrac{1 +\cos{(\beta +\gamma)}}{2}}= \dfrac{1}{2} \\[6pt] \begin{cases} 0^{\circ}<\alpha<90^{\circ} \\[6pt] 0^{\circ}<\dfrac{\beta+\gamma}{2}<90^{\circ} \\[6pt] \cos{\alpha}=\cos{\dfrac{\beta+\gamma}{2}} =\dfrac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \alpha= \dfrac{\beta+\gamma}{2}$

[pal702004]

Достатъчно е да се докаже(с косинусовата теорема), че ъгъла срещу станата с дължина 7 е 60 градуса.