Помощ!

[Гост]

В окръжност k(O) e вписан равнобедрен триъгълник ABC (AC = BC). Правата АО пресича страната BC и окръжността k, съответно в точките D и K. Ако триъгълник DBK е равнобедрен, намерете ългите на ABC.

[Darina73]

54[tex]^\circ[/tex] , 54[tex]^\circ[/tex] , 72[tex]^\circ[/tex] Това ли е отговора ?

[Гост]

Да, но какъв е начина, по който ще ги намерим?

[Гост]

начинът*

[Darina73]

Ако [tex]\triangle[/tex]АВС е тъпоъгълен ,то правата АО не пресича страната ВС .
Значи този вариант отпада .
[tex]\triangle[/tex]АВС -остроъгълен и [tex]\triangle[/tex]DBK е равнобедрен
Разглеждаме три случая.

1 сл. [tex]\angle[/tex]KBD = [tex]\angle[/tex]BKD = [tex]\beta[/tex]
АК -диаметър ,тогава вписаният [tex]\angle[/tex]ABK=90[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]ABC+ [tex]\angle[/tex]CBK=[tex]\angle[/tex]ABK ; [tex]\angle[/tex]ABC+[tex]\beta =90 ^\circ[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]ABC=90[tex]^\circ - \beta[/tex]
От условието знаем ,че [tex]\angle[/tex]BAC =[tex]\angle[/tex]ABC =90 [tex]^\circ - \beta[/tex]
Забелязваме ,че вписаният [tex]\angle[/tex]ACB = впис.[tex]\angle[/tex]AKB =[tex]\beta[/tex]
([tex]\triangle[/tex]ABC) 2(90[tex]^\circ - \beta) + \beta =180 ^\circ[/tex]
[tex]\beta[/tex] =0[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] този случай отпада

2 сл. [tex]\angle[/tex]KBD=[tex]\angle[/tex]KDB=[tex]\beta[/tex]
АК -диаметър ,тогава вписаният [tex]\angle[/tex]ABK=90[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]ABC+[tex]\angle[/tex]CBK= [tex]\angle[/tex]ABK ; [tex]\angle[/tex]ABC+[tex]\beta =90 ^\circ[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]ABC=90[tex]^\circ - \beta[/tex]
От условието знаем ,че [tex]\angle[/tex]BAC= [tex]\angle[/tex]ABC =[tex]90 ^\circ - \beta[/tex] (1)
Забелязваме ,че вписаният [tex]\angle[/tex]ACB =впис.[tex]\angle[/tex]AKB= 180[tex]^\circ -2 \beta[/tex]
([tex]\triangle[/tex]ABC) 2(90[tex]^\circ - \beta) +(180 ^\circ -2 \beta) =180 ^\circ[/tex]
180[tex]^\circ= 4 \beta ;\beta =45 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle[/tex]ABC [tex]\angle[/tex]BAC = [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]90 ^\circ- \beta =90^\circ -45 ^\circ =45 ^\circ[/tex] ,тогава[tex]\angle[/tex]ACB=90[tex]^\circ[/tex]
Правим точен чертеж и виждаме ,че отговорът на този (2 случай) не отговаря на условието на задачата .
И този случай отпада .

3 сл. [tex]\angle[/tex] BKD=[tex]\angle[/tex]BDK=[tex]\beta[/tex]
АК -диаметър ,тогава вписаният [tex]\angle[/tex]ABK =90[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]ABC+[tex]\angle[/tex]CBK=[tex]\angle[/tex]ABK ;[tex]\angle[/tex]ABC+180[tex]^\circ-2 \beta = 90 ^\circ[/tex] ;[tex]\angle[/tex]ABC=2[tex]\beta-90 ^\circ[/tex]
По условие [tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\angle[/tex]ABC=2[tex]\beta -90 ^\circ[/tex] (2)
Забелязваме ,че вписаният [tex]\angle[/tex]ACB =впис.[tex]\angle[/tex]AKB=[tex]\beta[/tex] (3)
([tex]\triangle[/tex]ABC) 2(2[tex]\beta-90 ^\circ )+ \beta =180 ^\circ[/tex] ;5[tex]\beta= 360 ^\circ[/tex] ;[tex]\beta =72 ^\circ[/tex] и зам. в (2)
[tex]\triangle[/tex]ABC е с ъгли 54[tex]^\circ ,54 ^\circ , 72 ^\circ[/tex]