Да се намери произведението

[Darina73]

В [tex]\triangle[/tex]АВС ортоцентърът Н разполовява височината CF .
Да се намери произведението на тангенсите на ъглите [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] .

[S.B.]

В [tex]\triangle[/tex]АВС ортоцентърът Н разполовява височината CF .
Да се намери произведението на тангенсите на ъглите [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] .

Без заглавие - 2025-07-24T102204.069.png (206.88 KiB) Прегледано 281 пъти

[tex]\angle BAC = \alpha , \angle ABC = \beta ,CH = HF = x[/tex]
т.$H$ е ортоцентър [tex]\Rightarrow AP \bot BC, H \in AP,P \in BC[/tex]
[tex]\triangle ABP[/tex] е правоъгълен , [tex]\angle PBA = \beta \Rightarrow \angle PAB = 90 ^\circ - \beta[/tex]
От [tex]\triangle AFC \rightarrow \frac{CF}{AF} = \tg \alpha \Leftrightarrow \frac{2x}{AF}= \tg \alpha \Rightarrow AF = \frac{2x}{\tg \alpha }[/tex]
От [tex]\triangle AFH \rightarrow \frac{HF}{AF} = \tg (90 ^\circ - \beta ) \Leftrightarrow \frac{x}{AF} = \cotg \beta \Leftrightarrow \frac{x}{AF} = \frac{1}{\tg \beta } \Rightarrow AF = x\tg \beta[/tex]

[tex]\begin{cases} AF = \displaystyle\frac{2x}{\tg \alpha } \\ AF = x\tg \beta \end{cases} \Rightarrow \displaystyle\frac{2x}{\tg \alpha }= x\tg \beta \Leftrightarrow 2x = x\tg \alpha \tg \beta[/tex]
$$\Rightarrow \tg \alpha \tg \beta = 2$$

[Darina73]

[tex]\triangle[/tex]AFC - правоъгълен tg[tex]\alpha = \frac{CF}{AF}[/tex] ; tg[tex]\alpha = \frac{2x}{AF}[/tex]

[tex]\triangle[/tex]AFH - правоъгълен tg[tex]\beta = \frac{AF}{FH}[/tex] ; tg[tex]\beta = \frac{AF}{x}[/tex]

[tex]tg\alpha.tg \beta = \frac{2x}{AF} . \frac{AF}{x}[/tex] =2

Скрит текст: покажи

Задачата е от сборник и е от групата на най-трудните .