някаква идея?

[ivelinkaaa]

дадено: ▲АВС СВ=а; АС=в; СМ=m <C=γ докажете , че ако 1/m =1/а +1/в => γ≥120°

[martin123456]

[tex]\frac{1}{m}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \Rightarrow \frac{1}{m}=\frac{a+b}{ab}[/tex].
[tex]S=\frac{ab}{2}\sin{\gamma}=\frac{m(a+b)\sin{\frac{\gamma}{2}}}{2}[/tex], по формулата за лице на [tex]\Delta[/tex] и като сума от лицата на [tex]\Delta AMC, \Delta MCB[/tex]. [tex]\Rightarrow 2ab\cos{\frac{\gamma}{2}}=m(a+b) \Rightarrow \cos{\frac{\gamma}{2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \gamma=120^\circ[/tex]

[ivelinkaaa]

S▲AMC=1/2bmsin(γ-x) S▲BMC=1/2amsinx може ли само да ми обясниш от къде се получава sin(γ/2)

[martin123456]

объркал съм се че става дима за ъглополовяща
всъщност CM медиана ли е?

[ganka simeonova]

Явно е медиана, но Ивелинка е трябвало, да поясни.
От условието=>[tex]m^2=\frac{a^2b^2}{ a^2+2ab+b^2}[/tex].

От ф-та за медиана=> [tex]4m^2=2a^2+2b^2-c^2[/tex]

Приравняваме и получаваме: [tex]( a^2+b^2-c^2)+(a^2+b^2)=\frac{4a^2b^2}{ a^2+2ab+b^2}[/tex] или

[tex]\frac{a^2+b^2-c^2}{ 2ab} +\frac{a^2+b^2}{ 2ab} =\frac{2ab}{ a^2+2ab+b^2}[/tex]

Полагаме [tex]\frac{a^2+b^2}{ 2ab} =\lambda \ge 1[/tex]=>

[tex]cos\gamma= \frac{2ab}{ a^2+2ab+b^2}-\frac{a^2+b^2}{ 2ab} =\frac{1}{1+\lambda } -\lambda \le \frac{1}{2 } -1=-\frac{1}{2 }[/tex]

=> [tex]\gamma \ge 120^\circ[/tex]

[ptj]

...
Полагаме [tex]\frac{a^2+b^2}{ 2ab} =\lambda \ge 1[/tex]...

Вече за 2-ри път използваш частен случай на неравенство на Коши. Поне аз докато бях ученик, то не бе включено в учебния материал. Мисля, че би било добре да даваш някое кратко доказателство за него (освен ако не става въпрос за задача от състезание).Например:

За положителни [tex]a,b[/tex] :
[tex]\frac{a^2+b^2}{2ab }=k[/tex]
[tex]a^2+b^2=2ab+(k-1)2ab[/tex]
[tex](a-b)^2=(k-1)2ab[/tex]

Тък като лявата страна на последното равенство е винаги неотрицателна, а [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са положителни, то:
[tex]k-1\ge0[/tex] <=> [tex]k\ge 1[/tex]

[ganka simeonova]

...
Полагаме [tex]\frac{a^2+b^2}{ 2ab} =\lambda \ge 1[/tex]...

Вече за 2-ри път използваш частен случай на неравенство на Коши. Поне аз докато бях ученик, то не бе включено в учебния материал. Мисля, че би било добре да даваш някое кратко доказателство за него (освен ако не става въпрос за задача от състезание).Например:

За положителни [tex]a,b[/tex] :
[tex]\frac{a^2+b^2}{2ab }=k[/tex]
[tex]a^2+b^2=2ab+(k-1)2ab[/tex]
[tex](a-b)^2=(k-1)2ab[/tex]

Тък като лявата страна на последното равенство е винаги неотрицателна, а [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са положителни, то:
[tex]k-1\ge0[/tex] <=> [tex]k\ge 1[/tex]

Дрън, дрън, та пляс!
1) Ивелинка не е ученичка.
2) Когато си бил ученик, е било преди 100 години
3) Това неравенство е толкова логично, че и 7-класниците го знаят.
Нямам никакво намерение, да го доказвам.

[loving_math]

Дрън, дрън, та пляс!
1) Ивелинка не е ученичка.
2) Когато си бил ученик, е било преди 100 години
3) Това неравенство е толкова логично, че и 7-класниците го знаят.
Нямам никакво намерение, да го доказвам.

Потвърждавам горното твърдение.Дъщеря ми е в 8 клас и самостоятелно може да докаже неравенството на Коши без какъвто и да е проблем. И за пояснение - не учи в математическа паралелка.Какво остава за човек в извънучилищна възраст като авторката на темата..

[ptj]

Дрън, дрън, та пляс!
1) Ивелинка не е ученичка.
2) Когато си бил ученик, е било преди 100 години
3) Това неравенство е толкова логично, че и 7-класниците го знаят.
Нямам никакво намерение, да го доказвам.

Потвърждавам горното твърдение.Дъщеря ми е в 8 клас и самостоятелно може да докаже неравенството на Коши без какъвто и да е проблем. И за пояснение - не учи в математическа паралелка.Какво остава за човек в извънучилищна възраст като авторката на темата..

Ти докога ще си избиваш комплексите с мен? Не ти ли омръзна за всяко 3-то мнение да ми сваляш рейтинга.

[loving_math]

Никога не съм ти сваляла рейтинга, нито съм ти го качвала. И комплекси за избиване нямам..Не се занимавам с математика, просто я харесвам и се обаждам само в онези случаи, когато съм сигурна, че съм права.
А ти пускаш като на конвейр, независимо дали е вярно или не, тук е разликата..

[ptj]

Дрън, дрън, та пляс!
1) Ивелинка не е ученичка.
2) Когато си бил ученик, е било преди 100 години
3) Това неравенство е толкова логично, че и 7-класниците го знаят.
Нямам никакво намерение, да го доказвам.

Потвърждавам горното твърдение.Дъщеря ми е в 8 клас и самостоятелно може да докаже неравенството на Коши без какъвто и да е проблем. И за пояснение - не учи в математическа паралелка.Какво остава за човек в извънучилищна възраст като авторката на темата..

За това ли става въпрос?

[tex]\sqrt[k]{\frac{a_1^k+a_2^k+a_3^k+...+a_n^k}{n}}\ge\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n}\ge\frac{1}{\frac{1}{a_1 } +\frac{1}{a_2 }+\frac{1}{a_3 } +...+\frac{1}{a_n } }[/tex]

[tex]a_1,a_2,a_3,...,a_n>0[/tex]

като равенство се достига само когато [tex]a_1=a_2=a_3=...=a_n[/tex].

[ptj]

Никога не съм ти сваляла рейтинга, нито съм ти го качвала. И комплекси за избиване нямам..Не се занимавам с математика, просто я харесвам и се обаждам само в онези случаи, когато съм сигурна, че съм права.
А ти пускаш като на конвейр, независимо дали е вярно или не, тук е разликата..

Извинявай, ставаше въпрос за нашата Гана. Грешно съм цитирал мнението ти.

[ganka simeonova]

Извинявай, ставаше въпрос за нашата Гана. Грешно съм цитирал мнението ти.

Именувам се ГанКа, не Гана.. Но, явно пак не си разбрал, явно толкова си можеш.
Името ми е чудесно българско женско име. Кръстена съм на баба си и се гордея с това!
За разлика от теб и много други, не се именувам с измислен ник ( като ptj ), а с името си.

[ganka simeonova]

Освен това, решението ми на задачата е хубаво.

А, и още- ако не те кефи, предложи свое

[ptj]

Не правиш разлика между хубаво и стандартно. За тази задача едва ли може да се мине без формула за медианата.

[ganka simeonova]

Предложи твое решение!

[ganka simeonova]

Не правиш разлика между хубаво и стандартно. За тази задача едва ли може да се мине без формула за медианата.

Чакаме "хубаво" решение, според стандарта ти!

[martin.nikolov]

Що се карате за глупости!

[ganka simeonova]

Заради това:

Вече за 2-ри път използваш частен случай на неравенство на Коши. Поне аз докато бях ученик, то не бе включено в учебния материал. Мисля, че би било добре да даваш някое кратко доказателство за него (освен ако не става въпрос за задача от състезание).Например:

[martin.nikolov]

Заради това:

Вече за 2-ри път използваш частен случай на неравенство на Коши. Поне аз докато бях ученик, то не бе включено в учебния материал. Мисля, че би било добре да даваш някое кратко доказателство за него (освен ако не става въпрос за задача от състезание).Например:

Ясно, но защо го правите? Не можете ли малко да си ограничавате импулсите да се карате, ако не за друго заради другите участници и за да не разваляте темата.

[ganka simeonova]

Не правиш разлика между хубаво и стандартно. За тази задача едва ли може да се мине без формула за медианата.

Ок:)
Без ф-ла за медианата.
Всеки знае, надявам се и ти, че през един и същи връх са наредени по големина-
височина, ъглополовяща, медиана.
В този смисъл=>
[tex]m_c\ge l_c[/tex]

Тогава според условието=>
[tex]\frac{ab}{ a+b} \ge \frac{2abcos{\frac{\gamma }{ 2} }}{ a+b}[/tex]
[tex]=>cos{\frac{\gamma }{ 2} }\le \frac{1}{ 2} =>\frac{\gamma }{ 2} \ge 60^\circ =>\gamma \ge 120^\circ[/tex]

[ganka simeonova]

Направих и още едно решение, по желание на ptj, без формула за медиана.
Така, мисля, отговарям на ptj и на М. Николов.
Не мисля, че съм започнала "дискусията" с ptj първа.
Просто, кротко си решавам задачки.

[ptj]

Не правиш разлика между хубаво и стандартно. За тази задача едва ли може да се мине без формула за медианата.

Ок:)
Без ф-ла за медианата.
Всеки знае, надявам се и ти, че през един и същи връх са наредени по големина-
височина, ъглополовяща, медиана.
В този смисъл=>
[tex]m_c\ge l_c[/tex]

Тогава според условието=>
[tex]\frac{ab}{ a+b} \ge \frac{2abcos{\frac{\gamma }{ 2} }}{ a+b}[/tex]
[tex]=>cos{\frac{\gamma }{ 2} }\le \frac{1}{ 2} =>\frac{\gamma }{ 2} \ge 60^\circ =>\gamma \ge 120^\circ[/tex]

Това вече е друго. Заслужи си овациите.

[ganka simeonova]

Не правиш разлика между хубаво и стандартно. За тази задача едва ли може да се мине без формула за медианата.

Ок:)
Без ф-ла за медианата.
Всеки знае, надявам се и ти, че през един и същи връх са наредени по големина-
височина, ъглополовяща, медиана.
В този смисъл=>
[tex]m_c\ge l_c[/tex]

Тогава според условието=>
[tex]\frac{ab}{ a+b} \ge \frac{2abcos{\frac{\gamma }{ 2} }}{ a+b}[/tex]
[tex]=>cos{\frac{\gamma }{ 2} }\le \frac{1}{ 2} =>\frac{\gamma }{ 2} \ge 60^\circ =>\gamma \ge 120^\circ[/tex]
Това вече е друго. Заслужи си овациите.

От теб ли? След дъжд- качулка:) и все пак, 10х
Искаш ли и трети начин?

[ganka simeonova]

ptj e на ход, по третия начин!
Хвърлям ти ръкавица!