Равностранен триъгълник и нер. на Коши

[edrenchev]

Да се докаже, че триъгълник с ъгли [tex]\alpha \beta \gamma[/tex] e равностранен тогава и само тогава, когато е изпълнено равенството.

а) [tex]sin[/tex][tex]\frac{\alpha }{2 } +[/tex][tex]sin[/tex][tex]\frac{\beta }{ 2} +[/tex][tex]sin[/tex][tex]\frac{\gamma }{2 } = \frac{3}{2 }[/tex]

b) [tex]sin[/tex][tex]\frac{\alpha }{2}sin[/tex][tex]\frac{\beta }{2}sin[/tex][tex]\frac{\gamma }{2}=\frac{1}{8}[/tex]

П.С. Трябва да се реши с неравенство на Коши.

[ganka simeonova]

Ще ти предложа решение.
Ако е равностранен всичко е ясно. Равенствата са налице.
При стандартните означения на елементите на триъгълник:
Oт кос. т-ма:

[tex]a^2=b^2+c^2-2bc.cos\alpha =(b-c)^2+2bc(1-cos\alpha )=(b-c)^2+4bcsin^2{\frac{\alpha }{ 2} }=>a^2\ge 4bcsin^2{\frac{\alpha }{ 2} }[/tex]

=>[tex]a\ge 2\sqrt{bc} sin{\frac{\alpha }{2 } }[/tex] (рав. се достига при [tex]b=c; \alpha =60^\circ[/tex], т.е., когато триъгълникът е равностранен).Тогава

[tex]sin{\frac{\alpha }{2 } }=\frac{1}{ 2} =>sin{\frac{\alpha }{2 } }+sin{\frac{\beta }{2 } }+sin{\frac{\gamma }{2 } }=\frac{3}{ 2}[/tex]
[tex]sin{\frac{\alpha }{2 } }.sin{\frac{\beta }{2 } }.sin{\frac{\gamma }{2 } }=\frac{1}{ 8}[/tex]