Правоъгълен триъгълник

[Henz]

Даден е правоъгълен триъгълник [tex]\Delta ABC[/tex]. като [tex]\angle ABC=30^\circ[/tex]. .Върху катета BC е избрана точка Q такава,че окръжност с диаметър CQ се допира до хипотенузата AB.Окръжността пресича отсечката AQ в точка P.Намерете AQ:PQ.

[martin123456]

AC е допирателна към окръжността. нека центърът на окръжността е O, а радиусът и е r. От правоъгълния и с ъгъл 30 градуса OSB (S е допирната точка на окръжността с AB) OB=2r. Значи CB=3r.
Нека AC=x, значи AB=2x. от питагорова теорема [tex]x=\sqrt{3}r[/tex].
От друга страна, ACQ е правоъгълен, CP е височина в него, понеже CQ е диаметър. Нека [tex]\angle AQC=\alpha[/tex]. значи [tex]AQ=\frac{2r}{\cos{\alpha}}[/tex], [tex]PQ=2r\cos{\alpha}[/tex]=>[tex]\frac{AQ}{PQ}=\frac{1}{\cos^2{\alpha}}[/tex].
Тъй като [tex]AQ=\sqrt{x^2+4r^2}=\sqrt{7r^2}=\sqrt{7}r[/tex], [tex]QB=r[/tex], [tex]AB=2\sqrt{3}r[/tex] прилагайки косинусова т-ма за AQC намираме [tex]\cos\alpha[/tex]. Aз го получавам [tex]-\frac{2}{\sqrt{7}}[/tex]=> търсенето отношение e [tex]\frac{7}{4}[/tex]

[Henz]

Мерси отново.

Всъщност сега проверих отговора,3:4 е.
Имам два въпроса по решението.
Защо OB=2r и защо CP е височина,какво като CQ е диаметър?

[martin123456]

не може да е 3/4, защото AQ>QP. ако в задачата се търсеше AP/PQ, тогава то би било 3/4
OB: разглеждаме триъгълник OSB. той е правоъгълен с ъгъл 30, а OS е радиус и значи r. => OB=2r
CP e височина в ACQ <=> CP перпендикулярно на AQ <=> ъгъл CPQ да е прав. но щом CQ е диаметър, значи CPQ е 1/2 от дъгата CQ, която е 180, значи е 90

[Henz]

OB: разглеждаме триъгълник OSB. той е правоъгълен с ъгъл 30, а OS е радиус и значи r. => OB=2r
CP e височина в ACQ <=> CP перпендикулярно на AQ <=> ъгъл CPQ да е прав.

OSB е правоъгълен защото S е допирателна с окръжноста,нали?Защото иначе не мога да си обясня откъде разбираме,че OSB е правоъгълен.

[martin123456]

da, това е

[Henz]

Благодаря ти много,за търпението и обясненията.

Сега я пререших и получих отговора.Ето ми го решението.

[tex]\Delta ACQ[/tex]. е правоъгълен.CP му се пада височина.
От там намирам по Питагор AQ=[tex]\sqrt{7}[/tex].r

Използвах зависимостите в правоъгълен триъгълник.

[tex]a^{2 }=c.a_{1 }[/tex] и получих [tex]PQ=\frac{4r}{ \sqrt[]{7} }[/tex].

По същия начин намерих и [tex]AP=\frac{3r}{ \sqrt[]{7} }[/tex].

И отношението им се получи [tex]\frac{AP}{PQ } = \frac{3}{ 4}[/tex].