Задача за ортоцентър, Да се намери радиуса на описаната окр.

[man_utd1992]

Имаме остроъгълен триъгълник ABC, H е ортоцентър и AH=BH=3 CH=√3. Да се намери радиуса на описаната окръжност. Също така ще съм благодарен, ако някой ми даде линк с решени задачи за ортоцентър, защото не съм решавал много такива и ще са ми от полза.
Благодаря предварително

[Anubis]

Знаем, че ако [tex]H[/tex] е ортоцентърът на остроъгълен [tex]\triangle ABC[/tex], [tex]\alpha, \, \beta, \, \gamma[/tex] са ъглите му и [tex]R[/tex] е радиусът на описаната

му окръжност,

то [tex]AH = 2 R cos \alpha, \, BH = 2 R cos \beta, \, CH = 2 R cos \gamma[/tex].

В нашия случай [tex]AH = BH \Leftrightarrow cos \alpha = cos \beta, \, \alpha, \, \beta \in \left ( 0^\circ; \, 180^\circ \right ) \Rightarrow \alpha = \beta[/tex], т. е. [tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен.

Тогава [tex]\gamma = 180^\circ - 2 \alpha[/tex] и [tex]cos \gamma = cos {\left ( 180^\circ - 2 \alpha \right )} = - cos 2\alpha[/tex].

[tex]AH = 3, \, CH = \sqrt{3} \Rightarrow \frac{AH}{CH} = \frac{3}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \frac{2 R cos \alpha}{- 2 R cos 2 \alpha} = \frac{3}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \frac{cos \alpha}{cos 2 \alpha} = - \frac{3}{\sqrt{3}}[/tex]

[tex]cos 2 \alpha = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha = 2 cos^2 \alpha - 1 \Rightarrow \sqrt{3} cos \alpha = - 3 cos 2 \alpha \Leftrightarrow 6 cos^2 \alpha + \sqrt{3} cos \alpha - 3 = 0[/tex]

Единственият положителен корен на това уравнение е [tex]cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow R = \frac{3}{2 cos \alpha} = \frac{9}{2 \sqrt{3}}[/tex].