Задача с ортоцентър (отношение)

[vladislav92]

Здравейте! Имам нужда от малко помощ за 1 задача:
Ортоцентърът на равнобедрения триъгълник ABC (AC=BC) разделя височината CD (D лежи на AB) в отношение CH : HD=7 : 9. Ако AC : AB=5 : (k+2), да се намери числото k.
Благодаря предварително!

[ganka simeonova]

Следи чертежа
Да построим диаметъра през С. Тогава [tex]CH=7x; HD=DF=9x[/tex](ортоцентърът е симетрчиен на точка F спрямо АВ)
Ще приложим свойството на пресичащи се хорди=>[tex]AD.DB=CD.DF=>AD^2=16x.9x=>AD=12x=>AB=24x[/tex]
Също така ще приложим метрична зависимост в правоъгълния [tex]\Delta FAC=>AC^2=CD.CF=>AD^2=16x.25x=>AC=20x[/tex]
От условието в задачата имаме:
[tex]\frac{AC}{ AB} =\frac{20x}{ 24x} =\frac{5}{ k+2} =>\frac{5}{6 } =\frac{5}{ k+2} =>k=4[/tex]

[vladislav92]

Много благодаря!

[vladislav92]

Извинявам се, но може ли да ми обясните защо ортоцентърът е симетрчиен на точка F спрямо АВ?

[saipul]

Продължаваме правата CF до пресичането й с описаната около АБЦ окръност в т. F.
На картинката се вижда, че по втори признак триъгълниците ADF и ADH са еднакви -> F е симетрична на H относно АБ