Правоъгълен триъгълник

[Henz]

Даден е ппраовъгълен триъгълник ABC с хипотенуза AB=1 и [tex]\angle BAC=\alpha[/tex].Да се докаже,че [tex]MN=\sqrt{sin^{2 }\alpha -sin^{3 }\alpha }[/tex].,където M и N са допирните точки на вписаната окръжност.M лежи на AC ,N лежи на AB.Да се намери НГС на MN.

[martin123456]

[tex]AN^2=p-a=\frac{\cos{\alpha}+1-\sin{\alpha}}{2}=\frac{2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}-2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}}{2}=\cos{\frac{\alpha}{2}}(\cos{\frac{\alpha}{2}}-\sin{\frac{\alpha}{2}})[/tex]
прилагаме косин т-ма за AMN: (АМ=AN): [tex]2AM^2(1-\cos{\alpha})=MN^2[/tex] <=> (след заместване) [tex]MN^2=2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}(1-\sin{\alpha})(1-\cos{\alpha})=2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}(1-\sin{\alpha})2\sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\sin^2{\alpha}(1-\sin{\alpha})[/tex]

сега за НГС: стойността на израза [tex]\sin^2{\alpha}(1-\sin{\alpha})[/tex] e неотрицателна, значи търсим НГС на него. полагаме [tex]\sin{\alpha}=t[/tex], [tex]t \in (0, 1)[/tex]. търсим НГС на [tex]f(t)=t^2-t^3[/tex], [tex]t \in (0, 1)[/tex]. [tex]f'(t)=2t-3t^2=t(2-3t)[/tex]. лок макс за [tex]t=\frac{2}{3}[/tex]. значи отг [tex]\sqrt{f(\frac{2}{3})}[/tex]

[Henz]

[tex]AN^2=p-a=\frac{\cos{\alpha}+1-\sin{\alpha}}{2}[/tex]

Това не ми е ясно защо така става.Откъде взехме [tex]AN^2=p-a[/tex] и после как получихме,че е равно на [tex]\frac{\cos{\alpha}+1-\sin{\alpha}}{2}[/tex]?

[martin123456]

[tex]AN=p-a[/tex]. като означиш разстоянието от върховете на триъгълника до допирните то1ки на вписаната окръжност със страните съответно това от A s x, това от B с y и това от C с z и използваш че допирателните от един и същ връх са равни, то получаваш че периметъра на триъгълника е [tex]2p=2x+2y+2z[/tex]. оттук [tex]x=p-y-z=p-a[/tex].
за другото: от с-ва в правоъгълен триъгълник: [tex]\sin{\alpha}=\frac{a}{1}[/tex]. аналогично за [tex]\cos{\alpha}=\frac{b}{1}[/tex]. сега замествам във p-a

искал съм да напиша не [tex]AN^2[/tex], a [tex]AN[/tex]

[Henz]

[tex]AN=p-a[/tex]. като означиш разстоянието от върховете на триъгълника до допирните то1ки на вписаната окръжност със страните съответно това от A s x, това от B с y и това от C с z и използваш че допирателните от един и същ връх са равни, то получаваш че периметъра на триъгълника е [tex]2p=2x+2y+2z[/tex].

Това не го разбрах.

[martin123456]

ето едно по - добро обяснение
нека M,N,P са допирните точки на страните с вписаната окръжност
от с-вото на допирателните получаваме следните равенства: AN=AM, NB=BP, PC=CM. нека означим дължините на тези отсечки с x,y,z, както на чертежа. сега се вижда че периметърът на триъгълника, който означаваме като 2p, е 2x+2y+2z. значи p=x+y+z. дължината на AN=x. искаме да я изразим с периметъра и с някоя страна на триъгълника.(от чертежа още се вижда, че при стандартни означения за страните на триъгълника (a,b,c) имаме следните равенства: a=z+y, b=x+z, c=x+y. оттук AN=x=p-(y+z)=p-a

[Henz]

Ясно.Мерси.

[martin123456]

нп

[Henz]

Сега видях още нещо.Защо означаваме периметъра като 2p?

[martin123456]

стандартно означение. P се нарича периметър, а p полупериметър. удобно е, например, вместо да пишем [tex]\frac{P}{2}-a[/tex], пишем само [tex]p-a[/tex]

[Henz]

Еее ама съм разсеян.То било периметъра това. Това вече е последен въпрос,наистина. Откъде разбираме че,стойността на израза [tex]\sin^2{\alpha}(1-\sin{\alpha})[/tex] e неотрицателна.

[martin123456]

[tex]\sin^2{\alpha}(1-\sin{\alpha})[/tex]
[tex]\sin^2{\alpha} \geq 0[/tex]
[tex]\sin{x} \leq 1[/tex]=>[tex]1-\sin{\alpha} > 0[/tex]

[Henz]

Ясно.Мерси отново за обстойните обяснения.