Задача с описани окръжности

[Henz]

Още една не ми е ясна.Катетите AC и BC в правоъгълен триъгълник са 4 и 3.Ъглополовящата на [tex]\angle C[/tex] пресича AB в L.Точки [tex]O_{1 }[/tex] и [tex]O_{2 }[/tex] са центровете на описани окръжности съответно на триъгълниците [tex]\Delta ACL[/tex] и [tex]\Delta BCL[/tex].
[tex]O_{1 }O_{2 }[/tex]=?

Дано не ставам нахален,но ще е хубаво с чертеж да е.

[martin123456]

считаме че АC=3. значи ъгъл ALC е остър. значи центъра на описаната му окръжност е вътрешна. значи ъгъл CLB е тъп, значи цент на описаната му окр е външна за него.
цент на описната окр лежи на пресечната точка на симетралите в триъгълник. в частност лежи на симетралата на CL. симетралата на CL е обща за двата триъгълника значи и двата им центъра са на нея.

нека ъгъл ALC=a. тогава ACO1=90-a. и CLB=180-a, BCO2=90-a.=>O1CB=a=>O1CO2=90. това доста накратко с вписани, централни ъгли.
за да се намери О1О2 можем
да използваме питагорова т-ма за О1СО2. трябва ни СО1,СО2.
СО1 можем да намерим така - то е радиус на описаната и значи [tex]2CO_1=\frac{3}{\sin{a}}[/tex]. [tex]\sin{a}[/tex] пък можем да намерим чрез [tex]\cos{a}[/tex]. последното пък можем да намерим от косинусова т-ма за ALC. трябват ни неговите страни, АС знаем. CL е ъглополовяща в ABC на който знаем станите и ползваме някоя формула за ъглополовяща. АL намираме от с-вото на ъглополовящата: [tex]\frac{BL}{LA}=\frac{4}{3}[/tex] и АL+LB=5

[Henz]

В условието е дадено че AC=4,BC=3.Извинявам се че не съм пояснил.

[martin123456]

ще се получи абсолщтно същия отговор. ако разбереш това дето съм написал и го приложиш за разменени страни ще се увериш в това

[Henz]

считаме че АC=3. значи ъгъл ALC е остър. значи центъра на описаната му окръжност е вътрешна. значи ъгъл CLB е тъп, значи цент на описаната му окр е външна за него.


нека ъгъл ALC=a. тогава ACO1=90-a. и CLB=180-a, BCO2=90-a.=>O1CB=a=>O1CO2=90. това доста накратко с вписани, централни ъгли.

.
Разбрах я,само тези неща не са ми ясни.Щом AC<BC значи ALC<CLB от това следва че [tex]\Delta ALC[/tex] е остроъгълен(защо следва че е остроъгълен) а BLC е тъпоъгълен.
Не разбрах и защо ACO1=90-a и BCO2=90-a.

[martin123456]

нямам предвид че триъгълниците са остроъгълни или тъпоъгълни, а че ъгъл ALC е остър и ъгъл CLB е тъп. което се доказва с някакви неравенства.

имам окръжност около триъг ALC, ъгъл ALC е вписан в нея => дъгата която му съответсва е 2a. на ъгъл AO1C съответв същата дъга (дъга AC), но той е централен и затова е равен на дъгата, т.е. е 2а. АО1=СО1 като радиуси => триъг АО1С е равнобедрен. затова ъглите при основата му са 90-а.

за другия ъгъл: ъгъл CLB=90-а. тъй като О2 е външна за триъгълник CLB, то ако си изберем една точка от дъгата CB, дъгата несъдържаща L, например точка М, то ъгъл CMB=а, понеже CMB ъгъл и CLB са и двата вписани и дъгите които им съответстват имат сбор 360 и значи сборът на ъглите е 180. оттук централният ъгъл CO2B има мярка 2а. отново триъг CO2B е равнобедрен заради 2 от страните му, които са радиуси. оттук ъглите при основите му са по 90-а

[Henz]

Ок разбрах я.Само защо дъгата AC=2??

[martin123456]

Защото вписаният ъгъл на който му съответства същатата дъга е с мярка а, значи по определение на вписан ъгъл че е 1/2 от съответстващата му дъга, дъгата е 2а

[Henz]

Ясно.Просто си означаваме ъгъла че е ? .

[martin123456]

дам

[Henz]

цент на описната окр лежи на пресечната точка на симетралите в триъгълник. в частност лежи на симетралата на CL. симетралата на CL е обща за двата триъгълника значи и двата им центъра са на нея.

Защо лежи на симетралата на CL?И защо е обща?

[indy]

Изненадващо приятна задачка. Ще я реша в общия случай, при дадени катети [tex]AC=b, BC=a.[/tex]
Построяваме диаметъра LA_1. [tex]\angle A_1CL=90[/tex] и [tex]\angle CA_1L=\angle CAL[/tex] (като вписани).
По същия начин, ако и LB_1 е диаметър [tex]\angle B_1CL=90[/tex] и [tex]\angle CB_1L=\angle CBL[/tex]. Разбираме, че A_1,C,B_1 са на една права и че[tex]\Delta A_1LB_1 \sim \Delta ACB[/tex].
Понеже CL e височина в [tex]\Delta A_1LB_1[/tex], коефициентът на подобие на двата триъгълника е [tex]k=\frac{CL}{CH}[/tex] (СН - височината в АВС).
[tex]CL=\frac{ab\sqrt{2}}{a+b}[/tex];
[tex]CH=\frac{ab}{c}[/tex].
Или [tex]A_1B_1=AB\frac{CL}{CH}=\frac{c^2\sqrt{2}}{a+b}=2O_1O_2[/tex] ([tex]O_1O_2[/tex] е средна отсечка).

Както добре отбелязя г-жа Симеонова, това решение "върви" за произволен триъгълник при дадени а,б и с.