Равнобедрен триъгълник

[Donatello]

Ортоцентърът на равнобедрен триъгълник лежи върху вписаната му окръжност. Да се намери отношението, в което той дели височината към основата. Отг. 1:4

[ganka simeonova]

Не знам дали решението ми е най- доброто, но това измъдрих
[tex]\Delta ADO=>cotg\frac{\alpha }{ 2} =\frac{a}{2r}[/tex]; [tex]\Delta HDB=>tg\alpha =\frac{a}{2.2r } =>2tg\alpha =cotg\frac{\alpha }{ 2}[/tex]
Но, [tex]tg\alpha =\frac{2cotg\frac{\alpha }{ 2} }{ cotg^2{\frac{\alpha }{2} }-1 }[/tex]
=>[tex]2\frac{2cotg\frac{\alpha }{ 2} }{ cotg^2{\frac{\alpha }{2} }-1 }=cotg\frac{\alpha }{ 2}[/tex]
Решаваме у- то и получаваме [tex]cotg\frac{\alpha }{ 2} =\sqrt{5} =>tg\alpha =\frac{\sqrt{5} }{ 2} =>\frac{CD}{AD } =\frac{\sqrt{5} }{ 2}=>CD= \sqrt{5}z; AD=2z=>AC=3z[/tex]
Прилагаме свойството на ъглополовящата AO за [tex]\Delta ADC=>\frac{CO}{OD } =\frac{AC}{ AD} =>\frac{x+r}{r } =\frac{3}{2 } =>x=\frac{r}{2 } =>\frac{CH}{ HD} =\frac{1}{ 4}[/tex]

[Donatello]

Мерси много