Задача ПП- 12клас

[NeFF]

В триъгълник ABC отсечките отсечките АА1, BB1, CC1 са височини. Докажете, че центърът на вписаната в триъгълник A1B1C1 окръжност е ортоцентър на триъгълник ABC.




До никъде не стигам с решението...

[martin123456]

нека височините се пресиучат в H. трябва да док, че H е център на вписаната в A1B1C1. за целта е дост да покажем че H е пресечна точка на 2 ъглополовящи в A1B1C1.
ще покажа за 1, за другата е аналогично - ще покажа за B1H.
[tex]\angle C_1B_1H=\angle HAC_1[/tex], понеже около AC1HB1 има окръжност (2 срещуположни ъгъла по 90 градуса) = [tex]90-\angle B[/tex]
[tex]\angle HB_1A_1=\angle HCA_1[/tex], понеже около B1HA1C има окръжност = [tex]90-\angle B[/tex].
оттук двата ъгъла са равни

[dim]

Понеже [tex]\angle BB_1C=\angle AA_1C=90^\circ[/tex] => [tex]OA_1CB_1[/tex] - вписан. Аналогично [tex]AC_1OB_1[/tex] - вписан.
[tex]\angle OB_1A=\angle OCA_1[/tex], защото [tex]\angle BB_1C=\angle AA_1C=90^\circ[/tex] е вписан и ъглите се виждат под една дъга. [tex](1)[/tex].
Аналогично [tex]\angle C_1AO=\angle C_1B_1O[/tex][tex](2)[/tex], но [tex]\angle BAA_1=\angle BCC_1[/tex] [tex](3)[/tex](един прав и един общ).
Сега от [tex](1)[/tex],[tex](2)[/tex],[tex](3)[/tex]=>[tex]\angle C_1B_1B=\angle BB_1A_1[/tex]=>[tex]B_1O[/tex] е ълополовяща в [tex]\Delta A_1B_1C_1[/tex]. Аналогично [tex]C_1O[/tex] и [tex]A_1[/tex] - ъглопол => т.[tex]O[/tex] е център на вписаната в [tex]\Delta A_1B_1C_1[/tex] окръжност.

ПП Пак станаха двойни субтитри май...