Произволен триъгълник

[Henz]

В [tex]\Delta ABC[/tex] медианата AM и ъглополовящата BL са перпендикулярни и имат една и съща дължина равна на 4.Намерете периметъра.

[martin123456]

от перпендикулярността следва че AB=BM=CB/2. нека AB=y, BC=2y. от с-вото на ъглополовяшата AL=x, LC=2x. сега замести с формулата за медианата и следва едно уравнение за x,y. и фор,улата за ъглополовяшата. следват 2 уравния с 2 неизвестн

[martosss]

Нека Р е пресечна точка на АМ и BL.
В триъг. АВМ BL е височина и ъглополовяща => триъг. е равнобедрен => AB=BM=MC=t
После AB/BC=AL/BL=1:2=> AL=x, CL=2x
Сега ще поработим малко с лица... S MLC=SMLB=k, отделно S ABL= ? S BLC= k
Тогава S ABC=3k
Сега S AMC=S AMB= 3k/2
Тогава SAML= S/2, S ABM=3S/2 => BP:PL=3:1 => BP=3, PL=1
Сега от Питагор намираш AP=x=?5, AB=t=?13
Тогава P=3(x+t)=3(?5+?13)
В това решение не се използва формула за медианата.

[Henz]

martin123456 това за перпендикулярноста какво е правилото(AB=BM=CB/2)?И какво е свойството на ъглополовящата?

[martin123456]

получва се равнобедрен триъгълнил. за кой клас е задачата

[Henz]

S MLC=SMLB=k, отделно S ABL= ? S BLC= k
Тогава S ABC=3k
Сега S AMC=S AMB= 3k/2

От това решение само тези неща не са ми ясни откъде следват.Например как знаеш,че S MLC=SMLB=k?

[Henz]

получва се равнобедрен триъгълнил. за кой клас е задачата

Някаква от тестове за кандидатстуденти е.За своиството на ъглопол сега се сетих кое беше.Обаче това AB=BM не го разбирам откъде се получава.

Мерси за решениета и на двамата .

[martin123456]

триъгълник AMB. имаме височина и ъглополвяща в едно. значи ако AM пресича BL в О, то триъгълниците AOB, MOB са еднакви (равни ъгли и обща страна). значи AB=MB

[Henz]

Ясно.

[martin123456]

по принцип за да решаваш задачи, където вечи си учил метрични зависимости, трябва да си вземеш един спраочник с формули за медиани, углополовящи и височини..как се изразяват със страните на триъгълник

[martosss]

S MLC=SMLB=k, отделно S ABL= ? S BLC= k
Тогава S ABC=3k
Сега S AMC=S AMB= 3k/2

От това решение само тези неща не са ми ясни откъде следват.Например как знаеш,че S MLC=SMLB=k?

Ами понеже АМ е медиана, то ВМ=СМ.
Отделно височината от точка L към ВС е обща за двата триъгълника, откъдето S1=S2=BM*h/2=CM*h/2=k, където k е някакво число, просто си го означавам за прегледност.
Другото следва отново от отношението на страните:
Понеже BL е ъглополовяща, то AL:LC=AB:BC=1:2, откъдето S ABL:S BLC = AL : LC(понеже имат обща височина от В към АС), откъдето S ABL=AL * S BLC/LC= S BLC / 2, а понеже S BLC = 2k, то S ABL=k.
Сега остава третото, то следва отново от факта, че BM=MC, но този път обща е височината от А към ВС, откъдето S ABM= S AMC= S ABC/2. Всичко ясно ли е?

[Henz]

Всичко ясно ли е?

Да.

[martosss]

Добре, това да се чува

[emil3993]

Хубава задача! Такива да се дават само!