Интересна задачка

[Mr.G{}{}Fy]

Даден е триъгълник ABC.Ако е известно,че ъгълът при върха A е [tex]60^\circ[/tex] и ъглополовящата от този ъгъл се отнася към BC така както [tex]2:3[/tex],да се намерят ъглите на триъгълника.

[ganka simeonova]

[tex]\angle B=30^\circ ; \angle C=90^\circ[/tex] ?

[Mr.G{}{}Fy]

[tex]\angle B=30^\circ ; \angle C=90^\circ[/tex] ?

Да или обратното
А може ли и решението ви

[ptj]

Понеже триъгълник с ъгли 60,30 и 90 градуси очевидно е изпълнено, може да опиташ да докажеш, че той е единствен със споменатото свойство.

П.П. Това е мързеливия начин.

[ganka simeonova]

Понеже триъгълник с ъгли 60,30 и 90 градуси очевидно е изпълнено, може да опиташ да докажеш, че той е единствен със споменатото свойство.

П.П. Това е мързеливия начин.

Ново 20 Я го докажи

[Mr.G{}{}Fy]

Понеже триъгълник с ъгли 60,30 и 90 градуси очевидно е изпълнено, може да опиташ да докажеш, че той е единствен със споменатото свойство.

П.П. Това е мързеливия начин.

И аз се сетих за това,но си нямах идея как да го докажа

[ptj]

Нека ъглополовящата [tex]AD = \frac{2}{3 } BC[/tex], а дължината и е фиксирана. Нека също [tex]\angle BAC=60^\circ[/tex]. Знаейки че, последното е изпълнено когато т.[tex]A[/tex] лежи на една от 2-те полуокръжности, за които [tex]\overset\frown{BC}=120^\circ[/tex]. Без загуба на общност може да разглеждаме само едната, защото всеки триъгълник от едната има симетричен в другата.
Т.е. достатъчно е да покажем, че отношението на двете дъги [tex]\overset\frown{BA}:\overset\frown{AC}[/tex] е фиксирано число...

[ganka simeonova]

"Мистифицирайки пантонимата на парадоксалната митропология и базирайки се на солидни аргументи, аз установих, че вие сте един/на екзотичнен/на дама/мъж , който/която внася известен резонанс в мойте абстрактни концепции. Ще се постарая да бъда кратък, за да може аудиторията да вникне в тенденцията на моите очаквания... Аз нямам за цел да изтъкна своя галантен манталитет въз основа на вашата пикантна структура а бих искал да ви честитя Рождения ден"

Копирано от Teen.Problem.net

[ptj]

Може ли да използвам една препратка?
http://www.math10.com/bg/geometry/postroenia/spisyk-na-zadachite-za-reshavane-na-triygylnik.html

Параграф 21 е точно за построяване на триъгълник по дадени [tex](a,\alpha,I_a)[/tex], т.е. задачата е еднозначно определена. В препратката има и решения.

[gredon]

"Мистифицирайки пантонимата на парадоксалната митропология и базирайки се на солидни аргументи, аз установих, че вие сте един/на екзотичнен/на дама/мъж , който/която внася известен резонанс в мойте абстрактни концепции. Ще се постарая да бъда кратък, за да може аудиторията да вникне в тенденцията на моите очаквания... Аз нямам за цел да изтъкна своя галантен манталитет въз основа на вашата пикантна структура а бих искал да ви честитя Рождения ден"

Копирано от Teen.Problem.net

Знам, че това е стара тема, но няма как да не се пръсна от смях

[Евва]

Нека BL=m ,CL=n и [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\beta[/tex] .
([tex]\triangle[/tex]ABL-sin T) [tex]\frac{m}{sin30 ^\circ }[/tex]=[tex]\frac{AL}{sin \beta }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] m=[tex]\frac{AL}{2sin \beta }[/tex]

([tex]\triangle[/tex]ALC-sin T) [tex]\frac{n}{sin30 ^\circ }[/tex]=[tex]\frac{AL}{sin(120 ^\circ - \beta) }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] n=[tex]\frac{AL}{ \sqrt{3} .cos \beta +sin \beta }[/tex]

BC=m+n=[tex]\frac{AL( \sqrt{3}.cos \beta +sin \beta )+AL.2sin \beta }{2sin \beta( \sqrt{3}.coa \beta+sin \beta )}[/tex]

[tex]\frac{BC}{AL}[/tex]=[tex]\frac{3sin \beta + \sqrt{3}cos \beta }{2 \sqrt{3}.sin \beta cos \beta +2 sin^{2 } \beta }[/tex]

Заместваме [tex]\frac{BC}{AL}[/tex] с [tex]\frac{3}{2}[/tex] ,опростяваме и получаваме cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{ \sqrt{3}sin \beta (1-sin \beta) }{3sin \beta -1 }[/tex] .

Използваме ,че [tex]cos^{2 }[/tex][tex]\beta[/tex]+[tex]sin^{2 }[/tex][tex]\beta[/tex]=1 и стигаме до 12[tex]sin^{4 } \beta[/tex]-12[tex]sin^{3 } \beta[/tex]-5[tex]sin^{2 } \beta[/tex]+6sin[tex]\beta[/tex]-1 =0

12[tex]sin^{3 } \beta[/tex](sin[tex]\beta[/tex]-1)-5sin[tex]\beta[/tex](sin[tex]\beta[/tex]-1)+(sin[tex]\beta[/tex]-1)=0

(sin[tex]\beta[/tex]-1)[12[tex]sin^{3 } \beta[/tex]-5sin[tex]\beta[/tex]+1]=0

(sin[tex]\beta[/tex]-1)(2sin[tex]\beta[/tex]-1)(6[tex]sin^{2 } \beta[/tex]+3sin[tex]\beta[/tex]-1)=0
Получаваме 4 корена :

sin[tex]\beta[/tex]=1 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\beta[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]

sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\beta[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]

sin[tex]\beta[/tex]= - [tex]\frac{3+ \sqrt{33} }{12}[/tex] <0 отада

sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{-3+ \sqrt{33} }{12}[/tex] [tex]\approx[/tex]0,2 Не разбирам защо този отговор отпада .

[pal702004]

Нека ъглите B,C са $60-x,60+x$ съответно. Имаме $AL=2,BC=3$ Като $LC=u,BL=v$, тоест, $u+v=3$. От синусовата теорема за триъгълниците $ALC$ и $ALB$ получаваме

$u=\dfrac{1}{\sin(60+x)}, \;v=\dfrac{1}{\sin(60-x)}$

При това $u+v=3$. Виждаме, че $x=30$ пасва чудесно, но все пак честно си решаваме уравнението. При мен се получава квадратно с гаднички коефициенти, но чудесен (положителен) отговор - $\cos x=\dfrac{\sqrt 3}{2}$