Задачка

[Mr.G{}{}Fy]

Върху страните [tex]AB[/tex] и [tex]BC[/tex] на квадрата [tex]ABCD[/tex] са взети съответно точките [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] така,че [tex]BP=BQ[/tex].Точката [tex]H[/tex] е петата на перпендикуляра,построен от точката [tex]B[/tex] към правата [tex]CP[/tex].Докажете че [tex]\angle DHQ=90^\circ[/tex]
Задачата съм я решавал,но искам да видя как вие я бихте решили .Може да изникне нещо рационално.

[Xixibg]

[tex]BH\cap AD=M[/tex]
[tex]\triangle ABM,\triangle BCP[/tex] са еднакви по 2-ри признак [tex]=>AM=BP=BQ[/tex][tex](AB=BC ; \angle BAM=\angle PBC=90^\circ ; \angle ABM=\angle PCB)[/tex]
[tex]=>DM=AD-AM=BC-BQ=CQ ; =>MQCD[/tex] е правоъгълник
[tex]=>[/tex] около [tex]MQCD[/tex] може да се опише окръжност [tex]k[/tex].
[tex]\angle MHC=\angle MDC=90^\circ ; =>H\in k[/tex]
[tex]=>k[/tex] е описаната окръжност около [tex]DHQC[/tex]
[tex]=>\angle DCQ+\angle DHQ=180^\circ[/tex]
[tex]=> \angle DHQ=180^\circ -\angle DCQ=180^\circ -90^\circ =90^\circ[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

[tex]BH\cap AD=M[/tex]
[tex]\triangle ABM,\triangle BCP[/tex] са еднакви по 2-ри признак [tex]=>AM=BP=BQ[/tex][tex](AB=BC ; \angle BAM=\angle PBC=90^\circ ; \angle ABM=\angle PCB)[/tex]
[tex]=>DM=AD-AM=BC-BQ=CQ ; =>MQCD[/tex] е правоъгълник
[tex]=>[/tex] около [tex]MQCD[/tex] може да се опише окръжност [tex]k[/tex].
[tex]\angle MHC=\angle MDC=90^\circ ; =>H\in k[/tex]
[tex]=>k[/tex] е описаната окръжност около [tex]DHQC[/tex]
[tex]=>\angle DCQ+\angle DHQ=180^\circ[/tex]
[tex]=> \angle DHQ=180^\circ -\angle DCQ=180^\circ -90^\circ =90^\circ[/tex]

Браво

[strangerforever]

Може и векторно, но е просторно и не ми изписва, но съществува като идея.

[Mr.G{}{}Fy]

Може и векторно, но е просторно и не ми изписва, но съществува като идея.

Скаларно произведение?

[strangerforever]

Абсолютно.

[Mr.G{}{}Fy]

Абсолютно.

Точно това беше и моето решение ... Но някак си е странно В смисъл,като измислиш идеята нататъка е лесно,но пък тия вектори посоки ... не ми допадат.А пък и решението на xixibg е много по-симпатично(по мое мнение).