Лице на тригълник.

[Donatello]

Даден е триъгълник [tex]ABC[/tex]. Височините са [tex]AA_1=3[/tex] и [tex]BB_1=2sqrt{2}[/tex], а височината [tex]CC_1[/tex]се дели от ортоцентъра [tex]H[/tex] в отношение [tex]5:1[/tex], считано от върха [tex]C[/tex] . Да се намери лицето на триъгълника. Отг.6

[dim]

Нека т.[tex]O[/tex] е ортоцентърът. От подобието на [tex]\Delta AC_1O[/tex] и [tex]\Delta C_1A_1O[/tex] и от [tex]AA_1=OA+OA_1[/tex] се намира [tex]OA[/tex] и [tex]OA_1[/tex]. Сега пак от това подобие: [tex]\frac{OA}{OC}=\frac{OC_1}{OA_1}[/tex] и от [tex]\frac{CO}{OC_1}=\frac{5}{1}[/tex] можем да намерим [tex]CC_1[/tex]. Сега като знаем трите височини можем да намерим лицето.

[ganka simeonova]

Не знам, дали е най- доброто решение, ноо
1) Нека триъгълникът е остроъгълен. Ще ползвам стандартни означения за страните и ъглите..
От син. т-ма за [tex]\Delta AHC=>\frac{AH}{ cos\alpha } =\frac{5x}{ cos\gamma }[/tex](1)
От правоъгълния [tex]\Delta AC_1H=>\frac{x}{ AH} =cos\beta[/tex](2)
ОТ (1) и (2)=>[tex]cos\gamma =5cos\alpha cos\beta =>-cos(\alpha +\beta )=5cos\alpha cos\beta =>[/tex]
[tex]-cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta =5cos\alpha cos\beta =>sin\alpha sin\beta =6cos\alpha cos\beta[/tex](3)
[tex]\Delta AA_1B=>sin\beta =\frac{3}{ c}[/tex]
[tex]\Delta AB_1B=>sin\alpha =\frac{2\sqrt{2} }{c }[/tex]
Заместваме в (3) и получаваме [tex]\frac{2\sqrt{2} }{c } .\frac{3 }{c } =6\sqrt{1-\frac{8}{ c^2} } \sqrt{1-\frac{9}{ c^2} } =>c=\sqrt{10}[/tex]
[tex]=>sin\alpha =\frac{2}{ \sqrt{5} } ; sin\beta =\frac{3}{ \sqrt{10} } =>sin\gamma =\frac{\sqrt{2} }{ 2} =>BC=4=>S=6[/tex]
2) Аналогично трябва да се разгледа за тъпоъгълен триъгълник.

[ganka simeonova]

Нека т.[tex]O[/tex] е ортоцентърът. От подобието на [tex]\Delta AC_1O[/tex] и [tex]\Delta C_1A_1O[/tex] и от [tex]AA_1=OA+OA_1[/tex] се намира [tex]OA[/tex] и [tex]OA_1[/tex]. Сега пак от това подобие: [tex]\frac{OA}{OC_1}=\frac{OC_1}{OA_1}[/tex] и от [tex]\frac{CO}{OC_1}=\frac{5}{1}[/tex] можем да намерим [tex]CC_1[/tex]. Сега като знаем трите височини можем да намерим лицето.

Дим, мисля че си сгрешил подобието.

[dim]

Защо? Малка хипотенуза към хипотенуза малък катет към малък катет.

[ganka simeonova]

[tex]\Delta C_1A_1O[/tex] не е правоъгълен.

[dim]

Оправих го. Да се чете:[tex]\frac{OA}{OC}=\frac{OC_1}{OA_1}[/tex]. Бях означил върхът с [tex]C_1[/tex] незнайно защо.
Изобщо не използвам [tex]\Delta C_1A_1O[/tex].

[ganka simeonova]

Дим, аз обаче пак не вдявам, как можеш да намериш височината.

[dim]

[tex]OC_1.OC=OA.OA_1[/tex]<=> [tex]\frac{h}{6}.\frac{5h}{6}=OA.OA_1[/tex]. Вляво [tex]h[/tex] вдясно известни.

[ganka simeonova]

Да, но ти не знаеш, как се дели АА1

[dim]

Да, права си - не е коректно.