Правоъгълен триъгълник

[Henz]

В правоъгълен триъгълник ABC с прав ъгъл при A AB=3,AC=6.Построени са три окръжности с центрове съответно A,B,C и радиуси 1,2,3.Намерете радиуса на окръжността,която се допира до трите окръжности външно.

[martin123456]

нека центърът е О. тъй като окръжността се допира до другите 3, АО=r+1, OB=r+2, OC=r+3, където r е радиусът, който се търси. да забележим че окръжностите с центрове А и B се пресичат АB в една точка, понеже AB=3, а сумата от радиусите им е 3 също.

значи сега им аме един правоъгълен триъгълник и една върешна точка О като разстоянията от нея до върховете на триъгълника са r+1,r+2,r+3 и се търси r.

спускаме OO1 от О към AB и OO2 от О към AC. ОО1О2А е правоъгълник. нека AO1=x. използваме няколко пъти т-мата на питагор: ОО1^2 = (r+1)^2-x^2, триъгълник OO1B=> r=3-3x. накрая питагорова за OO2C: [tex]x^2+(6-\sqrt{(r+1)^2-x^2})^2=(r+3)^2[/tex], което ако нямам грешка след повдигане на 2ра става [tex]7-r=3\sqrt{(r+1)^2-x^2}[/tex]