Отношение на тангенси

[Henz]

В [tex]\Delta ABC[/tex] [tex]5a^{2 }=5b^{2}+c^{2}[/tex] и [tex]3b^{2}=3c^{2}+a^{2}[/tex].Да се докаже,че тангенсите на ъглите на триъгълника се отнасят както 1:2:3.

[martin123456]

само идея
умножаваме второто по 5 и вадим двете => [tex]5b^2=8c^2[/tex], заместваме [tex]a^2=\frac{9c^2}{5}[/tex]. сега имаме страните изразени с [tex]c[/tex]. сега от косинусова т-ма намираме косинуси, синуси. после заместваме

[indy]

Нещо като тангенсова теорема:

От[tex]\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \Rightarrow \tan A=\frac{2bc \sin A}{b^2+c^2-a^2}=\frac{4S}{b^2+c^2-a^2}[/tex]

Тогава [tex]\frac{\tan A}{\tan B}= \frac {c^2+a^2-b^2}{b^2+c^2-a^2}[/tex]. От първото равенство [tex]c^2=5a^2-5b^2[/tex] или

[tex]\frac{\tan A}{\tan B}= \frac {6a^2-6b^2}{4a^2-4b^2}=3/2[/tex]

По подобен начин (от второто равенство) tanB:tanC.