Да се намерят страните на триъгълника

[Consigliere-]

Не мога да направя следната задача.Моля за подробно обяснение и да ми кажете как да си направя чертежа.(или няма значение къде падат перпендикулярите)
Даден е [tex]\Delta ABC[/tex] с лице [tex]S=4\sqrt{10}[/tex] . Разстоянията от върховете [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] до ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] са съответно равни на 1 и 3. Да се намерят дължините на страните на триъгълника.

[Xixibg]

Елементарна е
Помисли малко

[Consigliere-]

Не мога да измисля нищо .Правя си свойството ,натам нз ...с херонова става сложно

[Xixibg]

[tex]A_1,B_1\in CL ; AA_1\bot CL ; BB_1\bot CL[/tex]
[tex]\triangle AA_1L \approx \triangle BB_1L ; =>\frac{AL}{BL}=\frac{AA_1}{BB_1}=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]=>\frac{AL}{BL}=\frac{AC}{BC} ; =>AC=x ; BC=3x[/tex]
[tex]sin{\frac{\gamma}{2}}=\frac{1}{x} ; cos{\frac{\gamma}{2}}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} ; =>sin\gamma =\frac{2\sqrt{x^2-1}}{x^2}[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{AC.BC.sin\gamma}{2}=\frac{3x^2. 2\sqrt{x^2-1}}{2.x^2}=3\sqrt{x^2-1}=4\sqrt{10}[/tex]
[tex]=>9x^2-9=160 ; =>x=\frac{13}{3}[/tex]
[tex]=>AC=x=\frac{13}{3} ; BC=3x=13 ;[/tex]
[tex]cos\gamma =cos^2{\frac{\gamma}{2}}-sin^2{\frac{\gamma}{2}}=\frac{x^2-1}{x^2}-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-2}{x^2}=\frac{151}{169}[/tex]
[tex]AB^2=AC^2+BC^2-2AC.BC.cos \gamma =\frac{169}{9}+169-\frac{2.13.13.151}{3.169}=\frac{169+9.169-906}{9}=\frac{784}{9}[/tex]
[tex]=>AB=\frac{28}{3}[/tex]


Дано не съм сбъркал някъде из сметките ....

[Consigliere-]

Наистина се оказа лесна ... :@@@
мерси !

[amsara]

Не знам за кой клас е тази задача, но може спокойно да бъде решена и без тригонометрия, със знания за 9 клас.
[tex]AM \bot CL; BN \bot CL[/tex]
[tex]S_{ALC}+S_{BLC}=4\sqrt{10}[/tex]
[tex]4\sqrt{10} = \frac{3.CL}{2 } +\frac{CL}{2 }[/tex]
[tex]CL=2\sqrt{10}[/tex]
[tex]\Delta AMC \approx \Delta BNC => \frac{AM}{BN }=\frac{MC}{NC } <=> 3NC=MC =>MN=2NC[/tex]
[tex]ML=m, NL=p, \Delta AML \approx \Delta BNL =>\frac{3}{1 }=\frac{m}{p }=>m=3p ,LN=p, NC=2p[/tex]
[tex]CL=3p => 3p=2\sqrt{10} <=> p=\frac{2\sqrt{10} }{ 3}[/tex]
[tex]\Delta LNB => 1^2 +(\frac{2\sqrt{10} }{3 } )^2=LB^2; LB=\frac{7}{3 } cm[/tex]
[tex]\Delta LMA => 3^2 +(2\sqrt{10} )^2=LA^2; LA=7 cm[/tex]
[tex]AB= 7 +\frac{7}{3 } =\frac{28}{3 } cm[/tex]

[Xixibg]

Всяка геометрична задача може да се реши поне по 2 начина
А човекът се подготвя за кандидатстване и матура след 12 клас.
Реално може да се реши само с Питагорова теорема както си направила ти (е трябва да я приложиш още 2 пъти за страните на триъгълника) , но като учите Синусова и Косинусова теорема в 10 клас просто ще спреш да се замисляш дали не може по лесно , а ще си ги прилагаш защото с тях става

[amsara]

Ясно, аз нищо не съм казала, просто написах още едно решение. А то е ясно, че аз няма как да се сетя за нещо по-лесно, което в момента още не знам.

[Xixibg]

Виж аз даже харесвам повече решенията ако може и с материал за 1-ви клас да са.Но в повечето случаи не се замислям особено и давам първото решение което ми хрумне , а то рядко е най-лесното ......

[ganka simeonova]

Ще ме извиняваш Хихи, но в случая решението на Сара е по-добро:)

[Consigliere-]

Повече няма да поствам толкова глупави задачи.Па ако ще и цял ден мислене да ми отнеме....

[Xixibg]

Ще ме извиняваш Хихи, но в случая решението на Сара е по-добро:)

Абсолютно права сте
Трябва да призная че и на мен ми харесва повече.Моето е чисто рутинно без замисляне.Просто зная ,че така става и само пиша.... Когато си 9-ти клас и не знаеш все още част от материала си принуден да действаш като Сара и се появява едно ясно решение което е малко по-дълго ,но по-разбираемо и наистина по-добро.