Равностранен триъгълник

[pipi langstrump]

Ако ABC е равностранен и е изпълнено [tex]sin(60^\circ - \alpha )sin(60^\circ - \beta )sin(60^\circ - \gamma ) = sin \alpha sin \beta sin \gamma[/tex] и [tex]\frac{r_1}{r_2} = k_1\frac{sin(60^\circ - \beta )}{ sin \alpha }, \frac{r_2}{r_3} = k_2\frac{sin(60^\circ - \gamma )}{ sin \beta }, \frac{r_3}{r_1} = k_3\frac{sin(60^\circ - \alpha )}{ sin \gamma }[/tex] , вярно ли е, че малкият триъгълник е равностранен?

[ins-]

Какво са k1, k2, k3 ?

[pipi langstrump]

Константи.

[ins-]

Зависи от константите, но определено не са какви да е константи, най-малкото - произведението им е 1. Най-вероятно триъгълника не е равностранен, но е доста нестандартна и интересна задача. Авторска ли е и имаш ли решението? Аз имам 2 подобни задачи, но за момента никой не ги е решил.

[pipi langstrump]

Не е точно авторска. Всъщност решавах една трудна задача по физика и я сведох до тази геометрична задача, но оттам зацепих и не мога да намеря решение. Ще я напиша и нея и без това мартин123456 искаше да я види:

Три тела с различни маси образуват равностранен триъгълник. Когато се освободят, започват да се привличат едно с друго по закона на Нютон за гравитацията. Да се докаже, че във всеки момент от движението им телата образуват равностранен триъгълник (и че ще се срещнат).

[pipi langstrump]

Видях, че има още една връзка, която е пропусната. Тъй че не се мъчете - задачата е непълна. Ако успея да я реша, ще напиша точното условие и решението.

[ins-]

Напоследък много съм затъпял. Както си рисувах и се замислих над следната задача:
Даден е триъгълник ABC. Във вътрешността му са взети точките M и N, такива че <MAC=<NBC, <MCA=<NCB и AN=BM вярно ли е, че AC=BC?
Сигурно се решава по елементарен начин, но не мога да го измисля.