ВС=?

[ganka simeonova]

За четириъгълника [tex]ABCD=>\angle ACD=\angle ACB=30^\circ ; \angle ABD=120^\circ ; AB=\sqrt{3} ; BD=1[/tex]

Да се намери[tex]BC[/tex]

[strangerforever]

За четириъгълника [tex]ABCD=>\angle ACD=\angle ACB=30^\circ ; \angle ABD=120^\circ ; AB=\sqrt{3} ; BD=1[/tex]

Да се намери[tex]BC[/tex]

Не ми се струва красива задача. Да няма грешка, та затова да я пускаш? И това не е ли една задача от "Синусова теорема" в сборника на К. Коларов?

[ganka simeonova]

Не я пускам, защото има грешка:) Задачат си е наред и я пуснах по един повод, заради мой ученик:)
Всичко и е читаво.

[strangerforever]

Нека [tex]\angle BDC = \alpha \Rightarrow \angle DBC = 120^\circ - \alpha \Rightarrow \angle BAC = 180^\circ - 120^\circ - 120^\circ + \alpha - 30^\circ = \alpha - 90^\circ[/tex]

Некa x = BC.

От синусовата теорема за ABC следва [tex]x = \frac{\sqrt{3}.sin(\alpha - 90^\circ )}{sin30^\circ } = -2\sqrt{3}.cos \alpha[/tex]

От синусовата теорема за BCD следва [tex]x = \frac{sin \alpha}{sin60^\circ } = \frac{2sin \alpha}{\sqrt{3}}[/tex]

Приравнявайки ги получавамe [tex]-3cos\alpha = sin\alpha[/tex], което, замествайки в осн. тригонометрично равенство, води до:

[tex]cos^2 \alpha = \frac{1}{10}[/tex]. Очевидно [tex]\alpha > 90^\circ \Rightarrow cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}[/tex], откъдето намираме:

[tex]x = \frac{\sqrt{30}}{5}[/tex]

[strangerforever]

Нека [tex]\angle BDC = \alpha \Rightarrow \angle DBC = 120^\circ - \alpha \Rightarrow \angle BAC = 180^\circ - 120^\circ - 120^\circ + \alpha - 30^\circ = \alpha - 90^\circ[/tex]

Некa x = BC.

От синусовата теорема за ABC следва [tex]x = \frac{\sqrt{3}.sin(\alpha - 90^\circ )}{sin30^\circ } = -2\sqrt{3}.cos \alpha[/tex]

От синусовата теорема за BCD следва [tex]x = \frac{sin \alpha}{sin60^\circ } = \frac{2sin \alpha}{\sqrt{3}}[/tex]

Приравнявайки ги получавамe [tex]-3cos\alpha = sin\alpha[/tex], което, замествайки в осн. тригонометрично равенство, води до:

[tex]cos^2 \alpha = \frac{1}{10}[/tex]. Очевидно [tex]\alpha > 90^\circ \Rightarrow cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}[/tex], откъдето намираме:

[tex]x = \frac{\sqrt{30}}{5}[/tex]

Изтървал съм минуса пред [tex]\frac{\sqrt{10}}{10}[/tex].