2 задачи, свързани с височини в произволен триъгълник

[jokovi4]

1. Даден е остроъгълен т-к [tex]ABC[/tex], височините [tex]AA_{1 }[/tex] и [tex]BB_{1 }[/tex] на който са равни съответно на 6 и 8 см. Те се пресичат в точка [tex]H[/tex], като [tex]\angle AHB = \alpha[/tex] .
а) да се намерят дължините на страните и третата височина на триъгълника
б) да се намерят ъглите на дадения триъгълник
в) да се докаже, че т-к [tex]A_{1 }B_{1 }C_{1 }[/tex] е подобен на [tex]ABC[/tex] и да се намери лицето на четириъгълника [tex]ABA_{1 }B_{1 }[/tex]

2. В т-к [tex]ABC[/tex], ортоцентърът [tex]H[/tex] разполовява височината от върха [tex]B[/tex]. Да се докаже, че [tex]h_{b } = 4Rcos\alpha cos\gamma[/tex] , където [tex]h_{b }[/tex] е височината към страната [tex]CA[/tex], [tex]R[/tex] - радиусът на описаната окръжност, а [tex]\alpha = \angle CAB[/tex] и [tex]\gamma =\angle ACB[/tex].

Тъй като в училище съм изучавал само първо равнище математика, а в момента се занимавам допълнително с усвояването на второ равнище, свойствата и връзките между различните елементи при дадени височини и подобни неща не са ми много ясни. Ще са ми нужни напътствия, за да схвана по-добре приложението им в подобен род задачи. Благодаря предварително на отзовалите се!

[pipi langstrump]

Лесно се вижда, че ъгъл BCA = 180 - alfa и оттука като знаем АА1 и ВВ1, можем да намерим AC и ВС от триъгълниците АА1C и ВВ1С ,а с cos тh и третата страна. Третата височина можем да намерим от формулата [tex]CC_1 = \frac{2S}{AB}[/tex] ,S = (AC.BC.SIN(ъгъл BCA))/2. Синусите на ъглите на триъг. са срещулежащите им височини върху страните.

в) Тука мисля, че си объркал и че трябва да е триъгълник A1B1C, защото тоя триъгълник, който се образува от петите на височините в общия случай не е подобен на ABC, а понеже тука ъглите на триъгълника са неопределени, значи няма начин. Примерно ако ъгъла при върха С е много близък до правия, тоя триъгълник ще е много остър и очевидно няма как да е подобен на ABC.

Лицето на произволен четириъгълник се намира с формулата [tex]S = \frac{1}{2}d_1d_2 sin \phi[/tex], където [tex]d_1[/tex] и [tex]d_2[/tex] са диагоналите му, а [tex]\phi[/tex] - ъгълът между тях. В случая [tex]d_1[/tex] ,[tex]d_2[/tex] = AA1, BB1, a [tex]\phi = \alpha[/tex]

За втора. От формулите за лице на триъгълник и синусова теорема имаме:

[tex]\frac{c}{ \sin \gamma } = 2R[/tex]
[tex]S = \frac{cb sin \alpha }{2} = Rb \sin \gamma sin \alpha[/tex]

[tex]h_b = \frac{2S}{b} = 2R \sin \gamma sin \alpha[/tex]

Сега от картинката имаме

[tex]\operatorname{tg} (90^\circ - \gamma) = \operatorname{cotg} \gamma = \frac{\frac{h_b}{2} }{AB1}[/tex]
[tex]\operatorname{tg} \alpha = \frac{h_b}{AB1}[/tex]
[tex]\frac{\operatorname{cotg} \gamma}{\operatorname{tg} \alpha } = \frac{1}{2}[/tex]. Т.Е. [tex]\frac{cos \gamma cos \alpha }{sin \gamma sin \alpha } = \frac{1}{2}[/tex] или [tex]sin \gamma sin \alpha = 2 cos \gamma cos \alpha[/tex] Задачата е решена