сериозна задачка по геометрия за 7 клас

[Гост]

Имаме остроъгълен триъгълник АВС .Височините на страните му се пресичат в точка Н . Ако
ъгъл НАВ /ъгъл НВА = 2/3 и
ъгъл НВС /ъгъл НСВ = 1/2 ,намерете големината на ъгъл СА1В1 в градуси !
ПС: ъгъл СА1В1 - не можах да сложа като индекси в долната част на т.А1 и т.В1 - затова са написани така...)намерих всички други ъгълчета ,но този не успях...

[Anubis]

Гледай скромната картинка, тя всичко си казва, . Височините са съответно [tex]AA_{1}, \quad BB_{1}, \quad CC_{1}[/tex].

Ще използваме стандартните означения, т. е. [tex]\angle BAC = \alpha, \quad \angle ABC = \beta, \quad \angle ACB = \gamma[/tex].

От [tex]\triangle ABA_{1}[/tex] намираме [tex]\angle ABC = \beta, \quad \angle AA_{1}B = 90^\circ \Rightarrow \angle BAA_{1} = 90^\circ - \beta[/tex].

Аналогично [tex]\angle ABB_{1} = \alpha[/tex].

[tex]\frac{\angle HAB}{\angle HBA} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{90^\circ - \beta}{90^\circ - \alpha} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 270^\circ - 3\beta = 180^\circ - 2\alpha \Leftrightarrow[/tex][tex]\red \fbox{3\beta - 2\alpha = 90^\circ}[/tex]

[tex]\frac{\angle HBC}{\angle HCB} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{90^\circ - \gamma}{90^\circ - \beta} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 90^\circ-\beta = 2 \left ( 90^\circ - \gamma \right )[/tex]

Заместваме [tex]\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta[/tex] и получаваме след сметки [tex]\red \fbox{2\alpha + 3\beta = 270^\circ}[/tex].

От двете червени неща намираме [tex]\alpha = 45^\circ, \quad \beta = 60^\circ[/tex].

Около [tex]\triangle ABB_{1}[/tex] можем да опишем окръжност и нейният център ще лежи в средата на хипотенузата [tex]AB[/tex]. Около

[tex]\triangle AA_{1}B[/tex] също можем да опишем окръжност, чийто център също ще лежи в средата на хипотенузата [tex]AB[/tex]. Така

получихме, че четирите точки [tex]A, \quad B, \quad A_{1}, \quad B_{1}[/tex] лежат на една окръжност. Следователно около четириъгълника

[tex]ABA_{1}B_{1}[/tex] можем да опишем окръжност. Сега остана просто да използваме свойството на вписания четириъгълник,

което гласи, че сборът на срещулежащите ъгли е [tex]180^\circ[/tex].

[tex]\angle BAB_{1}+\angle BA_{1}B_{1}=180^\circ \Leftrightarrow \angle BA_{1}B_{1}+\alpha=180^\circ \Leftrightarrow \angle BA_{1}B_{1}=180^\circ-\alpha[/tex]

[tex]\Rightarrow \angle B_{1}A_{1}C=180^\circ-\angle BA_{1}B_{1} \Leftrightarrow \angle CA_{1}B_{1} = \alpha = 45^\circ[/tex]

[Xixibg]

................................................
Около [tex]\triangle ABB_{1}[/tex] можем да опишем окръжност и нейният център ще лежи в средата на хипотенузата [tex]AB[/tex]. Около

[tex]\triangle AA_{1}B[/tex] също можем да опишем окръжност, чийто център също ще лежи в средата на хипотенузата [tex]AB[/tex]. Така

получихме, че четирите точки [tex]A, \quad B, \quad A_{1}, \quad B_{1}[/tex] лежат на една окръжност. Следователно около четириъгълника

[tex]ABA_{1}B_{1}[/tex] можем да опишем окръжност. Сега остана просто да използваме свойството на вписания четириъгълник,

което гласи, че сборът на срещулежащите ъгли е [tex]180^\circ[/tex].

[tex]\angle BAB_{1}+\angle BA_{1}B_{1}=180^\circ \Leftrightarrow \angle BA_{1}B_{1}+\alpha=180^\circ \Leftrightarrow \angle BA_{1}B_{1}=180^\circ-\alpha[/tex]

[tex]\Rightarrow \angle B_{1}A_{1}C=180^\circ-\angle BA_{1}B_{1} \Leftrightarrow \angle CA_{1}B_{1} = \alpha = 45^\circ[/tex]

Само дето вписани и описани окръжности се учат в 8-ми клас ,а тази задача пише че е за седми.....

[Xixibg]

До намирането на [tex]\angle BAC=45^\circ ;\angle ABC=60^\circ ; \angle ACB=75^\circ[/tex] мисля че се справяш
[tex]=>\angle ACH=45^\circ ;\angle BCH=30^\circ ; \angle CA_1H=\angle CB_1H=90^\circ[/tex]
Нека [tex]M[/tex] е средата на [tex]CH ; =>A_1M=B_1M=CM=MH[/tex] (Медиана към хипотенузата в правоъгълните триъгълници[tex]\triangle A_1HC,\triangle B_1HC[/tex]).
[tex]=>\triangle A_1MC,\triangle B_1MC,\triangle A_1MB_1[/tex] са равнобедрени
[tex]=>\angle A_1CM=\angle CA_1M=30^\circ ; =>\angle A_1MC=180^\circ -(30^\circ +30^\circ )=120^\circ[/tex]
[tex]=>\angle B_1CM=\angle CB_1M=45^\circ ; =>\angle B_1MC=180^\circ -(45^\circ +45^\circ )=90^\circ[/tex]
[tex]=>\angle A_1MB_1=360^\circ -(120^\circ +90^\circ )=150^\circ ; =>\angle MA_1B_1=\angle MB_1A_1=\frac{180^\circ -150^\circ }{2}=15^\circ[/tex]
[tex]=>\angle CA_1B_1=\angle CA_1M+\angle MA_1B_1=30^\circ +15^\circ =45^\circ[/tex]


Ето това вече е с материал за 7-ми клас.

[bieber4eto7]

Моля, ако някой може спешно да ми ги реши до 17:00ч. Моля Ви много е ВАЖНО!!!
1) Даден е триъгълник ABC еднакъв триъгълник PQR . P на триъгълника ABC= 28,8 см., а страните на триъгълника ABC се отнасят както a:b:c както 2:3:4. Да се намерят страните на триъгълника ABC.

2) В триъгълника ABC ъгъл A+ъгъл C =150 градуса и са построени висучините AA1 и CC1. Намерете AB и CC1, ако AA1
=6,6см., а BC=12,6 см.

3) В равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC) ъгъл ACB =120 градуса, а точка D лежи на AB, така че ъгъл ADC= ъгъл BDC .
Намерете ъгъл ACD и бедрото AC, ако CD= (две пети-дроб) с, a с=15см.
Писах вчера , но никой не отговори ..Моля Ви..

[Xixibg]

1.[tex]a=2x ; b=3x ; c=4x ; P=2x+3x+4x=9x=28,8 ; =>x=3,2[/tex]
[tex]=>a=6,4 ; b=9,6 ; c=12,8[/tex]

2.[tex]\angle B=180^\circ -(\angle A+\angle C)=180^\circ -150^\circ =30^\circ[/tex]
[tex]CC_1=\frac{1}{2}BC=6,3sm.[/tex](Катет срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex] )
[tex]S_{ABC}=\frac{AA_1.BC}{2}=\frac{6,6.12,6}{2}=41,58m.^2[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{CC_1.AB}{2} :=>AB=\frac{2S}{CC_1}=\frac{83,16}{6,3}=13,2sm.[/tex]

3.[tex]\angle ABC=\angle BAC=\frac{180^\circ -\angle ACB}{2}=30^\circ[/tex]
[tex]\angle ADC=\angle BDC=\frac{1}{2}.180^\circ =90^\circ[/tex]
[tex]\angle ACD=180^\circ -(\angle ADC+ \angle DAC)=180^\circ -(90^\circ +30^\circ )=60^\circ[/tex]
[tex]CD=\frac{2}{5}.15=6sm.[/tex]
[tex]CD=\frac{1}{2}AC ; =>AC=2CD=12sm.[/tex](Катет срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex] )

[bieber4eto7]

1.[tex]a=2x ; b=3x ; c=4x ; P=2x+3x+4x=9x=28,8 ; =>x=3,2[/tex]
[tex]=>a=6,4 ; b=9,6 ; c=12,8[/tex]

2.[tex]\angle B=180^\circ -(\angle A+\angle C)=180^\circ -150^\circ =30^\circ[/tex]
[tex]CC_1=\frac{1}{2}BC=6,3sm.[/tex](Катет срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex] )
[tex]S_{ABC}=\frac{AA_1.BC}{2}=\frac{6,6.12,6}{2}=41,58m.^2[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{CC_1.AB}{2} :=>AB=\frac{2S}{CC_1}=\frac{83,16}{6,3}=13,2sm.[/tex]

3.[tex]\angle ABC=\angle BAC=\frac{180^\circ -\angle ACB}{2}=30^\circ[/tex]
[tex]\angle ADC=\angle BDC=\frac{1}{2}.180^\circ =90^\circ[/tex]
[tex]\angle ACD=180^\circ -(\angle ADC+ \angle DAC)=180^\circ -(90^\circ +30^\circ )=60^\circ[/tex]
[tex]CD=\frac{2}{5}.15=6sm.[/tex]
[tex]CD=\frac{1}{2}AC ; =>AC=2CD=12sm.[/tex](Катет срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex] )

Много благодаря!! Само един въпрос: х- какво се пада?

[Xixibg]

коефициент

[bieber4eto7]

Моля Ви да я решите, ако може до 1 час...
Реших я ,но незнам дали ми е вярна..Ако може решение???? При мен се получава 134 [tex]^\circ[/tex]
Ако [tex]\Delta[/tex] ABC е еднакъв на [tex]\Delta[/tex] MBN , големината на [tex]\angle[/tex] х е:
А) 184 [tex]^\circ[/tex]
Б) 74 [tex]^\circ[/tex]
В) 106 [tex]^\circ[/tex]
Г) 134 [tex]^\circ[/tex]
Благодаря предварително..

[Xixibg]

Ако напишеш хубаво условието или пратиш и чертежа може и да ти помогна

[bieber4eto7]

Ако напишеш хубаво условието или пратиш и чертежа може и да ти помогна

Ако триъгълника ABC е еднакъв на триъгълника MBN, големината на ъгъл x е:
А) 182 гр.
Б) 74 гр.
В) 106 гр.
Г) 134 гр.
http://www.solemabg.com/7Sam/7test_9_8.png Това е чертежа!
Това е..Извинявай..До 14:00 ч. ми трябва
Благодаря!

[ganka simeonova]

[tex]\Delta ABC=>\angle ABC=74^\circ ; \Delta ABC[/tex]еднакъв на [tex]\Delta NBM=>[/tex]
[tex]\angle NMB=30^\circ =>\angle MDC=46^\circ =>\angle NDC=134^\circ[/tex]