Две пресичащи се окръжности

[Гост]

Задача: Две окръжности с радиуси 1 и 3 се пресичат. Дължината на централата им е [tex]2\sqrt2[/tex]. Да се намери лицето на триъгълник с върхове, които са едната от пресечните точки на окръжностите и допирните точки на общата им външна допирателна с тях, разположени от една и съща страна на централата.

Намерих дължината на частта от централата, заключена между двете окръжности [tex]4-2\sqrt2[/tex], дължината на външната допирателна (2) и доказах, че острия ъгъл между централата и радиусите, построени в точката на допиране с външната допирателна е [tex]45^\circ[/tex].
Някой има ли идея как да продължа нататък?

[Anubis]

Опитал съм се да направя хубава картинка. На нея [tex]O_{1}K \bot O_{2}Q[/tex].

Означаваме [tex]\angle KO_{1}Q = \angle PQO_{1} = \alpha[/tex] и [tex]\angle KQO_{1} = PO_{1}Q = 90^\circ - \alpha[/tex].

[tex]S_{\triangle PQF} = S_{\triangle PO_{1}F} + S_{\triangle QO_{1}F} + S_{\triangle PO_{1}Q}[/tex]

Лесно намираме [tex]O_{1}Q = \sqrt{5}[/tex]. Понеже [tex]O_{1}F^2+O_{1}O_{2}^2=O_{2}F^2[/tex], то [tex]\angle FO_{1}O_{2} = 90^\circ[/tex].

[tex]\angle PO_{1}F + \angle PO_{1}Q + \angle QO_{1}F = 360^\circ \Rightarrow \angle PO_{1}F + (90^\circ-\alpha) + (\alpha+45^\circ+90^\circ)=360^\circ \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow \angle PO_{1}F=135^\circ; \quad \sin \angle FO_{1}Q = \sin (135^\circ+\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}[/tex]

[tex]S_{\triangle PQF} = \frac{O_{1}P \cdot O_{1}F \cdot \sin \angle PO_{1}F}{2} + \frac{O_{1}Q \cdot O_{1}F \cdot \sin \angle FO_{1}Q}{2} + \frac{PQ \cdot O_{1}P}{2} = \frac{2+\sqrt{2}}{2}[/tex]

[inveidar]

1?

[Гост]

И аз съм за (2+sqrt2)/2 т.е. anubis

[Anubis]

inveidar може би разглежда случая, когато за връх на триъгълника е взета другата пресечна точка. Аз съм сигурен, че решението, което е измислил, е вярно.

[inveidar]

Ами, да. За този триъгълник, който разглеждате, P,Q и F не са от едната страна на централата. А мисля, че точно това се иска в задачата. С други думи, според мен, трябва да вземете вместо F другата пресечна точка. А за отговора не съм сигурен, защото го смятах почти наум.

[Гост]

Задачата е от сборника на Копрински, Топалов. Отговорът е [tex]1-\frac{\sqrt2}{2}[/tex] и се има предвид триъгълника, върховете на който са от една и съща страна на централата.