Средногеометрична хорда, вписан триъгълник и вписан трапец

[gab4eto_pz11]

1 задача: Дадени са окръжност с радиус r и хорда в нея с дължина n. В единия край на хордата е прекарана допирателна, а разстоянието от другия край на хордата до допирателната е m. Докажете, че хордата е средно геометрична на диаметъра на окръжността и отсечката m.
2 задача: Триъгълникът ABC е вписан в окръжност. През върха А е прекарана допирателна, а през върха В - права, успоредна на допирателната до пресичането й с правата АС в точка D. Докажете, че AB на втора = AC.AD.
3 задача: В равнобедрен трапец ABCD (AB успоредна на CD) е вписана окръжност с радиус r. Намерете отсечката с краища допирните точки на окръжността с бедрата на трапеца, ако AD=c. ОТГ: 4r на втора степен/c

[Vulev]

Задача 1.

circle.png (11.75 KiB) Прегледано 1925 пъти

На чертежа хордата е AB. През А е построена допирателна към k. През В е спуснат перпендикуляр към допирателната. По условие BG=m. С О е означен центърът на k и през него е спуснат перпендикуляр към АВ с пета I (изчезна ми от чертежа като го обработвах).
[tex]\angle GAB[/tex] е периферен и значи е половината от дъгата АВ. [tex]\angle AOB[/tex] е централен и значи е колкото дъгата АВ. [tex]\Delta AOB[/tex] е равнобедрен, защото [tex]AO=BO=r[/tex]. Тогава OI освен височина е ъглополовяща и медиана. Така намираме, че [tex]\angle BOI[/tex] е половината от [tex]\angle AOB[/tex] = половината от дъгата АВ = [tex]\angle GAB[/tex]. Тъй като I е среда на АВ (OI - медиана) => [tex]BI=\frac{n}{2 }[/tex].
Разглеждаме триъгълници GAB и IOB. Те са подобни, защото имат два съответно равни ъгъла.
Следователно: [tex]\frac{AB}{ OB}=\frac{GB}{IB }=>\frac{n}{ r}=\frac{m}{ \frac{n}{2 } } =>n^{2}=2r.m[/tex]. Като означим диаметъра на k с [tex]d=2r[/tex] и коренуваме ще получим желаното [tex]n=\sqrt{dm}[/tex].

[Vulev]

Задача 2.

123.png (20.12 KiB) Прегледано 1923 пъти

На чертежа РА е допирателната =>[tex]\angle PAC=\frac{1}{2 }AC[/tex](дъга) - като периферен ъгъл.
[tex]PA||BD=>\angle BDA=\angle PAC[/tex]-кръстни.
[tex]\angle ABC=\frac{1}{2 } AC[/tex](дъга). [tex]=>\angle ABC=\angle BDA[/tex].
Разглеждаме [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]ADB[/tex]. Доказахме, че имат по един равен ъгъл. Освен това [tex]\angle A[/tex] е общ за двата триъгълника и значи и третите им ъгли са равни, т.е. [tex]\angle ACB=\angle ABD[/tex]. Тогава триъгълниците са подобни [tex]=>\frac{AB}{AD } =\frac{AC}{ AB} =>AB^{2}=AC.AD[/tex].

[gab4eto_pz11]

тези две задачи след известно мислене им намерих цаката с подобните триъгълници, благодаря Ви, ясно е, че решението е това

[Vulev]

Ето тогава чертежа към Задача 3 с равните и правите ъгли. Опитай се да си я разпишеш.
Имай предвид, че отнема много време правенето на чертежи и описването на решения с математически означения. Пращай задачи, по които вече си мислила и не си успяла да измислиш нищо.

trapez.png (26.46 KiB) Прегледано 1922 пъти

[gab4eto_pz11]

аз нямам нужда от чертеж, няма смисъл да си играете да правите него, по-скоро ми трябва идея по задачата

[Vulev]

Ъглите означени със синьо са идея. Затова се използват чертежите в математиката.