окръжност

[lili91]

Четириъгълник АВСD е вписън в окръжност . Продълженията на страните AD и BC се пресичат в точка Е , като точката D e е между точките А и D ,а точката С между точките Е и В . Да се намери cos\angle ABC ако BC = 2DE , AD : EC = 7:2
cos\angle AEB = 7/8

[martin123456]

[tex]DE=y[/tex], [tex]AD=7x[/tex], [tex]EC=2x[/tex], [tex]CB=2y[/tex] - от дадените отношения
[tex]\Delta DCE \sim \Delta BAE[/tex] - общ ъгъл Е и от описаната окръжност имаме че [tex]\angle DCE=\angle BAE[/tex]. от подобието получаваме следната зависимост: [tex]\frac{y}{2x}=\frac{2x+2y}{7x+y}[/tex]<=>[tex]44x^2-3xy-y^2=0[/tex]. това хомогенно уравнение има единствен положителн корен относно x: [tex]x=y[/tex].
сега имаме [tex]\Delta AEB[/tex] и прилагаме косинусова т-ма за него с известния косинус: [tex]64x^2+16x^2-2.32x^2\frac{7}{8}=AB^2[/tex]<=>[tex]AB^2=24x^2[/tex]<=>[tex]AB=2\sqrt{6}x[/tex].
сега за да намерим търсеният косинус прилагаме друга косинусова т-ма: [tex]24x^2+16x^2-2.2\sqrt{6}4x^2\cos{\angle ABC}=64x^2[/tex]