9 клас

[lady_viki]

ABC -остроъгълен триъгълник
окръжност (O; d= BC)
окръжността пресича CA=B1
окръжността пресича AB=C1
Да се докаже:
а) BB1 и CC1 - височини в триъгълника ABC
б) ъгъл AB1C1=ъгъл B; ъгъл AC1B=ъгъл C
в) тръгълник ABC подобен на триъгълник AB1C1

[kmitov]

zad.png (40.54 KiB) Прегледано 392 пъти

а) Ъглите [tex]BB_1C[/tex] и [tex]BC_1C[/tex] са прави защото са вписани и се опират на диаметъра. Следователно [tex]BB_1\bot AC[/tex] и [tex]CC_1 \bot AB[/tex]

По-нататък [tex]\angle CB_1C_1+\angle B=180^0[/tex] и [tex]\angle BC_1B_1+\angle C=180^0[/tex]
срещуположни ъгли във вписан четириъгълник.

Освен това
[tex]\angle CB_1C_1+\angle AB_1C_1=180^0[/tex] и [tex]\angle BC_1B_1+\angle AC_1B_1=180^0[/tex]
като съседни

От двете двойки равенства следва б)

в) Подобието следва по втори признак.

[Knowledge Greedy]

Щом окръжността е с диаметър [tex]BC[/tex], то за всяка нейна точка [tex]P[/tex] ъгълът [tex]\angle BPC = 90^{\circ}[/tex]. (По този повод се употребява изразът: от всяка точка на окръжността отсечката [tex]BC[/tex] се вижда под прав ъгъл.)
a) Гледаме точката [tex]B_{1}[/tex] . Тя е от окръжността. Значи [tex]\angle BB_{1}C = 90^{\circ}[/tex]. Това означава, че [tex]BB_{1}\bot AC[/tex], т.е. [tex]BB_{1}[/tex] е височина в триъгълника.

Диаметърът - върху ВС.png (3.51 KiB) Прегледано 392 пъти

Аналогично постъпваме и за [tex]CC_{1}[/tex] - виж чертежа. Тя е от окръжността. Значи [tex]\angle BC_{1}C = 90^{\circ}[/tex]. Това означава, че [tex]CC_{1}\bot AB[/tex], т.е. [tex]CC_{1}[/tex] е височина в триъгълника.
б) Трябва да знаем как се измерва вписан ъгъл в окръжност (върхът му е върху окръжността, а раменете му пресичат окръжността - такъв ъгъл се нарича вписан), с помощта на дъга. Накратко [tex]\angle CBC_{1} + \angle CB_{1}C_{1} = 180^{\circ}[/tex] - това пък е условието четириъгълник да е вписан в окръжност. А сега гледаме съседния ъгъл на [tex]\angle CB_{1}C_{1}[/tex], това е [tex]\angle AB_{1}C_{1}[/tex].
[tex]\angle AB_{1}C_{1}+\angle CB_{1}C_{1} = 180^{\circ}[/tex]
Сравнявайки това равенство с предходното ни дава [tex]\angle AB_{1}C_{1}=\angle ABC[/tex].
Точно по същия начин доказваме и второто.[tex]BCB_{1}C_{1}[/tex] е вписан в окръжност четириъгълник. ...

Сега видях, че се трудя над това, с което г-н Митов ме е изпреварил Успех

[lady_viki]

благодаря и на двама ви за помощта