Намерете ъглите

[estoyanovvd]

Ето една задача и от мен:

[martosss]

Аз си мислех така - тъй като ъгъл ANB е 90°, ако си означим радиусът с а, то получаваме, че [tex]CN=\frac{AB}{2}=a[/tex], сега си означаваме [tex]\angle ACN=3\alp[/tex] и намираме [tex]\angle ABN=\angle MNB=\angle CMN+\angle MCN=2\alp[/tex]
Оттук от правоъгълните триъгълници [tex]ACN[/tex] и [tex]ANB[/tex] изразяваме [tex]AN[/tex] :
[tex]AN=CN\tan 3\alp =CNsin2\alp[/tex].
Това е еквивалентно на
[tex]16\cos^4\alp -16\cos^2\alp +1=0[/tex]
Което има корени [tex]\cos\alp_{1,2}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt 3\pm 1)}{4}[/tex].
Оттук намираме, че алфа е или 15°, или 75°, но понеже 3а е ъгъл в триъгълник, то а=15°. Оттук ъгъл С е 3а=45°, ъгъл В=2а=30°, а ъгъл А е равен на 180°- 30°-75°=105°.

[dancho62a]

а аз стигнах до 0*х=0 сл. не сьм прав!

[martosss]

Моето решение читаво ли е, или искате нещо без тригонометрия?

[estoyanovvd]

С изключение на една техническа грешка всичко е наред.

[dancho62a]

озн.[tex]\angle ACB=3x,[/tex][tex]\angle KCN=2x,[/tex][tex]\angle ACK=x[/tex],радиуса R=AB/2
[tex]\angle KMN=2x[/tex],[tex]{\stackrel{\frown}{KN} =2x
[tex]\angle MNB=\angle MBN=2x[/tex],[tex]{\stackrel{\frown}{AN} =4x,{\stackrel{\frown}{Ak} =2x[/tex]
CKпресича окр. в т. P,NCPM-равнобедрен трапец,[tex]\angle KPM=2x[/tex]
[tex]\angle APK=x[/tex]- вписан
[tex]\Delta PAC[/tex]-равнобедрен ,AP=AC
раз.[tex]\Delta ANC[/tex] и[tex]\Delta AMP[/tex]
CN=MP=R,AC=AP,[tex]\angle ACN=\angle APM=3x[/tex],по 1пр.са еднакви
AN=AM=R
[tex]\Delta ANB[/tex]правоьг.,AN=R=1/2*AB,[tex]\angle B=30^\circ[/tex],2x=30,x=15[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle C=3*15=45^\circ[/tex]
[tex]\angle A=180-45-30=105^\circ[/tex]