Да се намери радиус на вписана окръжност

[cloudy]

Даден е правоъгълник със страни AD=30 и AB=25, две еднакви огръжности се допират до страните, съответно в горния ляв и долния десен ъгъл.
Прокарана е допирателна до двете окръжности, като [tex]\angle[/tex]EFB = 60°

Да се намери радиуса на окръжностите.

[math10.com]

Спускаш [tex]EH\bot BC;H \in BC[/tex] и нека [tex]AE=FC=BH=x \Rightarrow FH=30-2x \Rightarrow EF=60-4x[/tex](Катет срещу ъгъл 30 градуда е два пъти по-малък от хипотенузата)
Разглеждаме [tex]\Delta EHF[/tex] от където намираме [tex]EH=FH\sqrt{3} \Rightarrow 30-2x=\frac{25\sqrt{3}}{3} \Rightarrow x=\frac{90-25\sqrt{3}}{6}[/tex]
Спускаш [tex]O_2H_1\bot FC ; H_1\in FC ;\angle O_2FH_1=60^\circ ; O_2H_1=R \Rightarrow FH_2=R\sqrt{3} ; H_1C=O_2H_1=R[/tex]
[tex]\Rightarrow x=R\sqrt{3}+R=R(1+\sqrt{3}) \Rightarrow R=\frac{\frac{90-25\sqrt{3}}{6}}{1+\sqrt{3}}=\frac{(90-25\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}{12}=\frac{115\sqrt{3}-165}{6}[/tex]

[cloudy]

717aecbc93b2582892578ff9a4f3e2881bf993d1.jpg (11.63 KiB) Прегледано 777 пъти

Здравей, Math10
Задачата е от сайта brilliant.org, който е доста развлекателен, проблема с тази задача ми е, че не мога да стигна до същия отговор, който е даден за правилен.

[tex]\frac{115 - 55\sqrt{3}}{4}[/tex]

От графиката се вижда че FG = [tex]\frac{r}{\sqrt{3}}[/tex] и FG +GC = r( 1 + [tex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex])

BI=AE = FC

IF = [tex]\frac{25}{\sqrt{3}}[/tex]

BC = 2FC + IF [tex]\Rightarrow[/tex] 30 = 2r( 1 + [tex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]) + [tex]\frac{25}{\sqrt{3}}[/tex]

2r [tex]\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}[/tex] = 30 - [tex]\frac{25}{\sqrt{3}}[/tex]

И след рационаизацията не получавам посочения отговор, виждам, че и при теб има грешка.

[Добромир Глухаров]

[tex]2r\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}=30-\frac{25}{\sqrt{3}}|.\sqrt{3}[/tex]

[tex]2r(\sqrt{3}+1)=30\sqrt{3}-25[/tex]

[tex]r=\frac{(30\sqrt{3}-25)(\sqrt{3}-1)}{2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{30.3-30\sqrt{3}-25\sqrt{3}+25}{2.(3-1)}=\frac{115-55\sqrt{3}}{4}[/tex]

[cloudy]

Мерси, било е очевидно.