В окръжност к с център О е вписан триъгълник АВС

[shener.hadjimehmed]

В окръжност к с център О е вписан триъгълник АВС. Ъглополовящата на [tex]\angle[/tex]АСВ пресича к в точка Р. Да се намери [tex]\angle[/tex]АСВ , ако четириъгълника АРВО е ромб.

[shener.hadjimehmed]

Правилният шестоъгълник ABCDEF е вписан в окръжност с център О. Построен е един триъгълник
с върхове измежду седемте точки A, B, C, D, E, F и О. Да се намери вероятността построеният
триъгълник да е равностранен.

[Knowledge Greedy]

Равностранни са [tex]6[/tex] от триъгълниците с връх центъра [tex]O[/tex] на шестоъгълника и страна - една от страните на шестоъгълника. Освен тях има и два равностранни, със страни малките диагонали на на шестоъгълника ("големи" диагонали считам диаметрите на описаната окръжност). Значи равностранните са общо [tex]8[/tex].
Всичките [tex]8[/tex] са благоприятните избори сред [tex]C_{7}^{3}-3=32[/tex] всевъзможни триъгълници, с върхове измежду посочените точки. (Тройката е извадена от [tex]C_{7}^{3}[/tex], защото [tex]AOD, BOE, COF[/tex] не са триъгълници).
Отговор [tex]P=\frac{8}{32}=25%[/tex]

[Nathi123]

Нека k(O,R) AOBP- ромб [tex]\Rightarrow AO=OB=BP=AP=R; \angle ACP=\angle PCB=\frac{\gamma}{2}; \Delta ACP[/tex] синусова т-ма [tex]\Rightarrow \frac{PB}{sin\frac{\gamma}{2}}=2R\Rightarrow sin\frac{\gamma}{2} =\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\gamma}{2}= 30^\circ\Rightarrow \gamma = 60^\circ[/tex].