Общи допирателни на две окръжности 8 клас

[selin.ilhan14]

Докажете, че допирните точки на общите външни допирателни до две окръжности са върхове на трапец.

[ptj]

Осева симетрия спрямо правата свързваща двата сентъра.

[ева]

Може и чрез два подобни тр-ка да док.,че четирите допирни т.са върхове на равнобедрен трапец.

[ева]

Извинявай за грешката-вместо подобни трябваше да напиша равнобедрени тр-ци.Те се получават при пресичането на двете общи външни допирателни.

[ева]

[tex]К_{1 }[/tex]([tex]О_{1 }[/tex];[tex]R_{1 }[/tex]),[tex]K_{2 }[/tex]([tex]O_{2 }[/tex];[tex]R_{2 }[/tex]) като [tex]R_{1 }[/tex][tex]\ne[/tex][tex]R_{2 }[/tex] Нека [tex]d_{1 }[/tex],[tex]d_{2 }[/tex] са двете общи външни допирателни.
[tex]d_{1 }[/tex] допира [tex]К_{1 }[/tex] в т.А,а [tex]К_{2 }[/tex] в т.С ; [tex]d_{2 }[/tex] допира [tex]К_{1 }[/tex] в т.В,а [tex]К_{2 }[/tex] в т.D
Ще док.,че ABDC e ревноб.трапец
Нека [tex]d_{1 }[/tex] пресича [tex]d_{2 }[/tex] в т.Т,[tex]\angle[/tex]АТВ=[tex]\alpha[/tex]
АТ,ВТ са външни допирателни към [tex]К_{1 }[/tex] от т.Т[tex]\Rightarrow[/tex] АТ=ВТ[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ВАТ е равоб.[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ТВА=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] (1)
СТ,DT са външни допирателни към [tex]К_{2 }[/tex] от т.Т[tex]\Rightarrow[/tex] CT=DT[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]DCT е равноб.[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]TDC=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] (2)
от (1) и (2)[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]ТВА=[tex]\angle[/tex]TDC,а те са съответни ъгли
Щом съответните ъгли са равни,то правите АВ и CD са успоредни [tex]\Rightarrow[/tex] ABDC е трапец.
CT=DT ; AT=BT (вадим двете равенства) СТ-АТ=DT-BT [tex]\Rightarrow[/tex] AC=BD [tex]\Rightarrow[/tex] ABDC е равнобедрен трапец

[Гост]

Докажете, че допирните точки на общите външни допирателни до две окръжности са върхове на трапец.

[S.B.]

Докажете, че допирните точки на общите външни допирателни до две окръжности са върхове на трапец.

Без заглавие - 2025-02-24T225253.093.png (245.67 KiB) Прегледано 274 пъти

Определение: Четириъгълник на който две от страните са успоредни,но другите две не са се нарича трапец.

Нека допирните точки на двете допирателни с окръжностите са $A,B,C,D$ ,както са разположени на чертежа.
Ще докажем,че $ABCD$ е трапец.
[tex]AB \cap CD = M[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle AMD[/tex]и [tex]\triangle BMC[/tex]. И двата триъгълника са равнобедрени (ЗАЩО?)и имат общ ъгъл при върха - [tex]\angle M[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle MDA = \angle MCD = \varphi = \frac{180 ^\circ- \angle М }{2}[/tex]
Но [tex]\angle MDA[/tex] и [tex]\angle MCD[/tex] са съответни ъгли получени при пресичането на $AD$ и $BC$ с правата $MC$
[tex]\Rightarrow AD || BC[/tex] (Според Теорема - признак за успоредни прави)
За четириъгълника $ABCD$ получихме:[tex]\begin{cases} AB \cap CD =M\\ AD || BC\end{cases} \Rightarrow ABCD[/tex] е трапец.