Задачи върху окръжности

[Totenceto]

Трябват ми тези задачи!

[Davids]

1) Ако $PN = r$, то $\Delta OPN$ е равностранен и тъй като $\angle ONL = 90^{\circ}$, то остава $\angle PNL = 30^{\circ}$. Аналогично и $\angle NPL = 30^{\circ}$, откъдето окончателно $\angle PLN = 120^{\circ}$.

2) $AB$ е диаметър, следователно имаме веднага $\angle C = 90^{\circ}$. А за другите два ъгъла трябва да съобразиш, че се отнасят както съответстващите им дъги (понеже са равни на половината от тях), откъдето веднага имаш $\alpha + \beta = 2x + x = 3x = 90 \Rightarrow x = 30^{\circ}$. И оттам $\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}$

3) Тук наистина имаш само да съобразиш, че сборът на ъглите в окръжността е $360^{\circ}$, което веднага ти дава $\widehat{AD} = 90^{\circ}$ и другото остава само смятания на половинки от сборове на дъги, няма да го обговарям.

4) И за двата търсени ъгъла ти трябват само и единствено дъгите $\widehat{AC}$ и $\widehat{BD}$, които веднага намираш, виждайки, че $\widehat{BD} = 2.\angle BAD = 2.60 = 120^{\circ}$ и $\widehat{AC} = 2.\angle ADC = 2.70 = 140^{\circ}$. И остана $\angle AMC = \frac{1}{2}(\widehat{AC} - \widehat{BC}) = 10^{\circ}$ и $\angle ANC = \frac{1}{2}(\widehat{AC} + \widehat{BC}) = 130^{\circ}$

5) Имаш $\angle AQB = \frac{1}{2}(\widehat{AB} + \widehat{DC}) \Rightarrow \widehat{DC} = 60^{\circ}$. От сбора на ъглите в окръжност намираш $\widehat{AD} = 360 - (60 + 40 + 110) = 150^{\circ}$ и всичко друго, както и при по-горната задача, остава само кръчмарски сметки и изчисления

6) От радиус към допирателна имаш веднага $\angle OTL = 90^{\circ}$, следователно и $\angle TLO = \angle LOT = 45^{\circ}$ и триъгълник $\Delta OLT$ е правоъгълен равнобедрен, откъдето веднага $r = OT = TL = 2cm$