Вписана окръжност, 8 клас

[moni2003petrova]

Основата на равнобедрен триъгълник ABC е AB = 14 см. Вписаната в триъгълника окръжност се допира до бедрото AC в точка P и AP:PC=1:4. Намерете периметъра, лицето на триъгълник ABC и радиусът на вписаната окръжност.

[Davids]

Ако кажем, че вписаната окръжност се допира до основата в точка $H$, то значи по свойството на допирателните от една точка към окръжност имаме, че $AH = AP$, а знаем, че $AH = \frac{AB}{2} = 7$. Оттам и цялото бедро $AC = BC = 5.AP = 35$.
Периметъра става $P = 2.35 + 14 = 84$.
Лицето е $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{42.7.7.28} = 98\sqrt{6}$
Но лицето е също и $S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{98\sqrt{6}}{42} = \frac{7}{3}\sqrt{6}$
Само за лицето не съм много сигурен дали ще се ориентираш с тази формула, ако си осми клас, но наистина не измислих нещо по-осмокласническо. Но варианти за намиране на височината има всъщност много, но те включват я Питагорова теорема, я тригонометрия, я подобия... Все неща, които не се учат в осми клас (ако се не лъжа)