Вписани и външно вписани окръжности , 8клас

[moni2003petrova]

Даден е триъгълник ABC с център на вписаната окръжност точка О. Окръжността се допира до страната BC с точка М. Външно вписаната окръжност при страната BC се дoпира с точка К. Докажете, че MC=KB.

[Davids]

Ако вземеш вътрешновписаната окръжност да се допира до $AB$ в $Q$ и до $AC$ в $L$, а външновписаната - до $AB$ в точка $N$ и до $AC$ в точка $P$, то имаш:
$AN = AP$
Което е еквивалентно на доразвитото:
$AL + LC + CP = AQ + QB + BN$

Но съобразяваш няколко неща:
- $AL = AQ$ (допирателни към вписаната от върха $A$)
- $LC = CM$ и $QB = BM$ (тъй като са допирателни към вписаната от върха $B$)
- аналогично, $CP = CK$ и $BN = BK$ (допирателни този път до външновписаната)
- последно имаш да изразиш само, че $BM = BK + MK$ и $CK = CM + MK$.

Като заместиш всичко по реда, по който го описахме, получаваш:
$AL + LC + CP = AQ + QB + BN$
$\Leftrightarrow AL + CM + CM + MK = AL + BK + MK + BK$
$\Rightarrow CM = BK$