триъгълник,вписан в окръжност

[moni2003petrova]

Триъгълникът ABC с ъгъл CAB=70° е вписан в окръжност k(О;r). Допирателна през върха C пресича правата AB в точка M, като А е между M и B. Ако AM=AC, намерете [tex]\angle[/tex] ACB.

[S.B.]

[tex]\triangle[/tex]ABC,вписан в окръжност;[tex]\angle[/tex]CAB = 70[tex]^\circ[/tex],вписан [tex]\Rightarrow[/tex]дъгата BC = 140[tex]^\circ[/tex]( [tex]\angle[/tex]CAB = [tex]\frac{д.CB}{2}[/tex]);
MC - допирателна в т.С,СА - секуща [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]MCA е периферен и [tex]\angle[/tex]MCA = [tex]\frac{д.CA}{2}[/tex];
От AM = AC [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\triangle[/tex]MAC е равнобедрен и [tex]\angle[/tex]АМС = [tex]\angle[/tex]МСА;
[tex]\angle[/tex]ВАС е външен за [tex]\triangle[/tex]АМС [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ВАС = [tex]\angle[/tex]АМС + [tex]\angle[/tex]МСА или 70[tex]^\circ[/tex] = 2.[tex]\angle[/tex]АСМ от където [tex]\angle[/tex]АСМ = 35[tex]^\circ[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]дъгата АС = 70[tex]^\circ[/tex]
дъгата АС + дъгата ВС + дъгата АВ = 360[tex]^\circ[/tex] или 70[tex]^\circ[/tex] + 140[tex]^\circ[/tex] + дъгата АВ = 360[tex]^\circ[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] дъгата АВ = 150[tex]^\circ[/tex],
[tex]\angle[/tex]АСВ е вписан и [tex]\angle[/tex] АСВ = [tex]\frac{д.АВ}{2}[/tex] = [tex]\frac{150^\circ}{2}[/tex] = 75[tex]^\circ[/tex]