Вписан триъгълник

[moni2003petrova]

Равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC) е вписан в окръжност k(O;r). Точка M е такава, че диаметърът AD е перпендикулярен на хордата CM. Ако дъгата BM е 18°, намерете [tex]\angle[/tex]ABC.

[ева]

57[tex]^\circ[/tex] ли е отговора ?

[S.B.]

57[tex]^\circ[/tex] ли е отговора ?

Аз получавам [tex]\angle[/tex]АСВ = 54[tex]^\circ[/tex],[tex]\angle[/tex]САВ = [tex]\angle[/tex]АВС = 63[tex]^\circ[/tex]
Нека [tex]\angle[/tex]САВ = [tex]\angle[/tex]АВС = [tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]АСВ = [tex]\gamma[/tex] и [tex]2\alpha + \gamma[/tex] = 180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]АМС също е равнобедрен :диаметърът AD [tex]\bot[/tex] CM [tex]\Rightarrow[/tex] AD e симетрала на СМ и АМ = АС ;
[tex]\angle[/tex]АМС = [tex]\angle[/tex]АВС = [tex]\frac{д.АС}{2}[/tex] = [tex]\alpha[/tex] ; От АМ=АС [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]АСМ = [tex]\angle[/tex]АМС = [tex]\alpha[/tex] , но [tex]\angle[/tex]АСМ = [tex]\angle[/tex]АСВ + [tex]\angle[/tex]ВСМ = [tex]\gamma[/tex] + [tex]\frac{18^\circ}{2}[/tex] или [tex]\alpha[/tex] = [tex]\gamma[/tex] + 9[tex]^\circ[/tex]
(пнеже д.ВМ = 18[tex]^\circ[/tex],а вписаният [tex]\angle[/tex]ВСМ = [tex]\frac{д.ВМ}{2}[/tex])
[tex]2\alpha + \gamma[/tex] = 180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2([tex]\gamma + 9^\circ[/tex]) + [tex]\gamma[/tex] = 180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] 3[tex]\gamma[/tex] + 18[tex]^\circ[/tex] = 180[tex]^\circ[/tex] [tex]\gamma[/tex] + 6[tex]^\circ[/tex] = 60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\gamma[/tex] = 54[tex]^\circ[/tex] , [tex]\alpha[/tex] = 63[tex]^\circ[/tex]