окръжност

[moni2003petrova]

Дадена е окръжност k(О;r=10см). През точка А от хордата AB е построена допирателна t към k. Точка C e среда на голямата дъга AB. Ако разстоянието от C до допирателната t е 12 см, намерете разстоянието от О до хордата AB.

[Davids]

Circle.png (56.23 KiB) Прегледано 538 пъти

Така, означените на чертежа равни ъгли се доказват както следва: означаваме първо периферния ъгъл с алфа, след това, знаейки, че той е половината от дъгата, която сключва, извеждаме, че той е равен на половината от централния ъгъл срещу същата дъга, т.е. $\angle AOH = \alpha$.

След като сме изяснили това, отиваме на даденото разстояние. Разглеждаме правоъгълния трапец $KCOA$, за който имаме две основи 10 и 12см, и по-дълго бедро, също равно на 10см (радиусите). Оттам по Питагорова след спуснато сечение $OL \bot KC$ (няма го на чертежа) намираме $KA = 4\sqrt{6}$, и отново по Питагорова теорема от $\Delta ACK$ намираме диагонала $AC = 4\sqrt{15}$.

Остана да направим косинусова теорема за равнобедрения $\Delta ACO$, откъдето ще намерим $cos\alpha$:
$240 = 2.100(1 - cos(180 - \alpha))$
$\frac{6}{5} = 1 + cos\alpha$
$cos\alpha = \frac{1}{5}$

Сега по определението за косинус в $\Delta AOH$ вече намираме търсеното разстояние:
$OH = OAcos\alpha = \frac{10}{5} = 2$